Câu hỏi:

03/09/2022 336

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do $x + 2 y + 3 z = 2$ nên $\{\begin{cases} x = 2 - 2 y - 3 z \\ 2 y = 2 - x - 3 z \\ 3 z = 2 - x - 2 y \end{cases},$ Khi đó:

$\begin{array}{l} x y + 3 z = x y + (2 - x - 2 y) = (x y - x) - (2 y - 2) = x (y - 1) - 2 (y - 1) = (x - 2) (y - 1) \\ 3 y z + x = 3 y z + (2 - 2 y - 3 z) = (3 y z - 3 z) - (2 y - 2) = (y - 1) (3 z - 2) \\ 3 x z + 4 y = 3 x z + 2 (2 - x - 3 z) = (3 x z - 6 z) - (2 x - 4) = 3 z (x - 2) - 2 (x - 2) = (x - 2) (3 z - 2) \end{array}$

Suy ra:
$\begin{array}{l} S = \sqrt{\frac{x y}{(x - 2) (y - 1)}} + \sqrt{\frac{3 y z}{(y - 1) (3 z - 2)}} + \sqrt{\frac{3 x z}{(x - 2) (3 z - 2)}} \\ = \sqrt{\frac{x}{2 (1 - y)}} \sqrt{\frac{2 y}{2 - x}} + \sqrt{\frac{2 y}{1 - 3 z}} \sqrt{\frac{3 z}{2 (1 - y)}} + \sqrt{\frac{x}{2 - 3 z}} \sqrt{\frac{3 z}{2 - x}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{x}{2 (1 - y)} + \frac{2 y}{2 - x}) + \frac{1}{2} (\frac{2 y}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 (1 - y)}) + \frac{1}{2} (\frac{x}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 - x}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{x}{2 (1 - y)} + \frac{2 y}{2 - x} + \frac{2 y}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 (1 - y)} + \frac{x}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 - x}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{x + 3 z}{2 (1 - y)} + \frac{2 y + 3 z}{2 - x} + \frac{2 y + x}{2 - 3 z}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{2 - 2 y}{2 (1 - y)} + \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{2 - 3 z}{2 - 3 z}) = \frac{1}{2} (1 + 1 + 1) = \frac{3}{2} \end{array}$

Hay $S \leq \frac{3}{2} \Rightarrow M a x S = \frac{3}{2}$

Dấu”=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{2 (1 - y)} = \frac{2 y}{2 - x} \\ \frac{2 y}{2 - 3 z} = \frac{3 z}{2 (1 - y)} \\ \frac{x}{2 - 3 z} = \frac{3 z}{2 - x} \end{cases} \Rightarrow 2 x - x^{2} = 4 y - 4 y^{2} = 6 z - 9 z^{2}$ và $x + 2 y + 3 z = 2$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

b, Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12cm bán kính đáy là 2cm lượng nước trong cốc cao 8cm Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên.Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimet? (Giả sử độ dài của cốc là không đáng kể)

Xem đáp án » 11/07/2024 3,541

Câu 2:

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m - n) x + (2 m + 3 n - 1) = 0 (1)$ (m,n là tham số)

1) Với n= 0 chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Xem đáp án » 11/07/2024 1,450

Câu 3:

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{32} - \sqrt{6} . \sqrt{3} + \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}}$

Xem đáp án » 11/07/2024 1,172

Câu 4:

a, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $y = - x + \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Gọi A,B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung; H là trung điểm của đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thẳng OH (đơn vi trên các trục tọa độ là xentimet).

Xem đáp án » 11/07/2024 995

Câu 5:

b, Chứng minh tam giác EMN là tam giác đều

Xem đáp án » 11/07/2024 891

Câu 6:

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho $\hat{B O M} = 30^{0} .$ Gọi N là giao điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P

a, Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 11/07/2024 766

Câu 7:

b, Tìm m,n để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa $x_{1} + x_{2} = - 1$ và $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Xem đáp án » 11/07/2024 659

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: x+2y+3z=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=xyxy+3z+3yz3yz+x+3xz3xz+4y

Nhà sách VIETJACK:

Cho phương trình: x2−2m−nx+2m+3n−1=0(1) (m,n là tham số) 1) Với n= 0 chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

1) Rút gọn biểu thức A=32−6.3+2211

b, Chứng minh tam giác EMN là tam giác đều

b, Tìm m,n để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1+x2=−1 và x12+x22=13

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m - n) x + (2 m + 3 n - 1) = 0 (1)$ (m,n là tham số)

1) Với n= 0 chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{32} - \sqrt{6} . \sqrt{3} + \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}}$

b, Tìm m,n để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa $x_{1} + x_{2} = - 1$ và $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$