Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do $x + 2 y + 3 z = 2$ nên $\{\begin{cases} x = 2 - 2 y - 3 z \\ 2 y = 2 - x - 3 z \\ 3 z = 2 - x - 2 y \end{cases},$ Khi đó:

$\begin{array}{l} x y + 3 z = x y + (2 - x - 2 y) = (x y - x) - (2 y - 2) = x (y - 1) - 2 (y - 1) = (x - 2) (y - 1) \\ 3 y z + x = 3 y z + (2 - 2 y - 3 z) = (3 y z - 3 z) - (2 y - 2) = (y - 1) (3 z - 2) \\ 3 x z + 4 y = 3 x z + 2 (2 - x - 3 z) = (3 x z - 6 z) - (2 x - 4) = 3 z (x - 2) - 2 (x - 2) = (x - 2) (3 z - 2) \end{array}$

Suy ra:
$\begin{array}{l} S = \sqrt{\frac{x y}{(x - 2) (y - 1)}} + \sqrt{\frac{3 y z}{(y - 1) (3 z - 2)}} + \sqrt{\frac{3 x z}{(x - 2) (3 z - 2)}} \\ = \sqrt{\frac{x}{2 (1 - y)}} \sqrt{\frac{2 y}{2 - x}} + \sqrt{\frac{2 y}{1 - 3 z}} \sqrt{\frac{3 z}{2 (1 - y)}} + \sqrt{\frac{x}{2 - 3 z}} \sqrt{\frac{3 z}{2 - x}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{x}{2 (1 - y)} + \frac{2 y}{2 - x}) + \frac{1}{2} (\frac{2 y}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 (1 - y)}) + \frac{1}{2} (\frac{x}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 - x}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{x}{2 (1 - y)} + \frac{2 y}{2 - x} + \frac{2 y}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 (1 - y)} + \frac{x}{2 - 3 z} + \frac{3 z}{2 - x}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{x + 3 z}{2 (1 - y)} + \frac{2 y + 3 z}{2 - x} + \frac{2 y + x}{2 - 3 z}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{2 - 2 y}{2 (1 - y)} + \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{2 - 3 z}{2 - 3 z}) = \frac{1}{2} (1 + 1 + 1) = \frac{3}{2} \end{array}$

Hay $S \leq \frac{3}{2} \Rightarrow M a x S = \frac{3}{2}$

Dấu”=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{2 (1 - y)} = \frac{2 y}{2 - x} \\ \frac{2 y}{2 - 3 z} = \frac{3 z}{2 (1 - y)} \\ \frac{x}{2 - 3 z} = \frac{3 z}{2 - x} \end{cases} \Rightarrow 2 x - x^{2} = 4 y - 4 y^{2} = 6 z - 9 z^{2}$ và $x + 2 y + 3 z = 2$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b, Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12cm bán kính đáy là 2cm lượng nước trong cốc cao 8cm Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên.Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimet? (Giả sử độ dài của cốc là không đáng kể)

Xem đáp án

Lời giải

b, Thể tích dâng lên bằng thể tích 6 viên bi thả vào cốc

Thể tích nước trong cốc ban đầu: $V_{1} = π {.2}^{2} .8 = 32 π (c m^{3})$

Thể tích của 6 viên bi được thả vào cốc là: $V_{2} = 6. \frac{4}{3} π {.1}^{3} = 8 π (c m^{3})$

Thể tích sau khi được thả thêm 6 viên bi là: $V = V_{1} + V_{2} = 32 π + 8 π = 40 π (c m^{3})$

$\Rightarrow$ Chiều cao mực nước trong cốc lúc này là: $h = \frac{V}{π R^{2}} = \frac{40 π}{π {.2}^{2}} = 10 (c m)$

Vậy sau khi thả 6 viên bi vào cốc thì mực nước cách cốc là: $12 - 10 = 2 (c m)$

Câu 2

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m - n) x + (2 m + 3 n - 1) = 0 (1)$ (m,n là tham số)

1) Với n= 0 chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Xem đáp án

Lời giải

Với n= 0 ta có phương trình $(1) \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = 0$

Phương trình có $Δ' = m^{2} - 2 m + 1 = {(m - 1)}^{2} \geq 0 \forall m$

Vậy với m thì phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Câu 3