Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} 4 (2 a^{2} + a b + 2 b^{2}) = 5 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = 5 (a^{2} + b^{2}) + 3 {(a - b)}^{2} \geq 5 {(a + b)}^{2}, d o {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Vì a,b dương nên:

$2 \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq 5 (a + b) \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (a + b) (1)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi a= b

Chứng minh tương tự để có:

$\sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (b + c) (2),$

Dấu “=” xảy ra khi $b = c$

Và $\sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (c + a) (3),$ Dấu $" = "$ xảy ra khi c=a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức $(1), (2), (3)$ ta được:

$\sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} .2 (a + b + c) = 2019 \sqrt{5}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ a + b + c = 2019 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Vậy $P_{\min} = 2019 \sqrt{5} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} b) P = [\frac{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x}) + 2 x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})}] : [\frac{\sqrt{x} - 1 - 2 (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)}] \\ = \frac{3 \sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} : \frac{5 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{\sqrt{x} . (3 + \sqrt{x})}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} . \frac{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)}{5 - \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x} - 5} \end{array}$

Vậy $P = \frac{x}{\sqrt{x} - 5}$ với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25$

Câu 2

c, Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF

Xem đáp án

Lời giải

c, Gọi Hx là tia đối của tia HN

Vì tứ giác MNOH nội tiếp $\Rightarrow \hat{N H O} = \hat{N M O}$

Mà (do $Δ M N O$ cân tại O) $\Rightarrow \hat{N H O} = \hat{M N O}$

Do $\hat{A H M} = \hat{A N O}$ (cmt) hay $\hat{A H M} = \hat{M N O} \Rightarrow \hat{A H M} = \hat{N H O}$

Vì $\hat{A H M} + \hat{M H B} = 90^{0}$ và $\hat{N H O} + \hat{N H B} = 90^{0} \Rightarrow \hat{M H B} = \hat{N H B}$

$\Rightarrow H B$ là tia phân giác của $\hat{M H N}$

Gọi BC cắt AN tại D $\Rightarrow H D$ là tia phân giác của $\hat{M H N}$

Vì $\hat{N H O} = \hat{A H x}$ (đối đỉnh) và $\hat{A H M} = \hat{N H O} \Rightarrow \hat{A H M} = \hat{A H x}$

$\Rightarrow H A$ là tia phân giác của $\hat{M H x}$

Xét $Δ M H N$ có HD là đường phân giác trong tại đỉnh H $\Rightarrow \frac{H M}{H N} = \frac{D M}{D N} (3)$

Xét $Δ M H N$ có HA là đường phân giác ngoài tại đỉnh $H \Rightarrow \frac{H M}{H N} = \frac{A M}{A N} (4)$

Từ (3) (4) $\Rightarrow \frac{D M}{D N} = \frac{A M}{A N}$

Ta có: $E M / / B N \Rightarrow \frac{E M}{B N} = \frac{A M}{A N}$

Ta có: $B N / / M F \Rightarrow \frac{D M}{D N} = \frac{M F}{B N}$

Mà $\frac{D M}{D N} = \frac{A M}{A N} \Rightarrow \frac{E M}{B N} = \frac{F M}{B N} \Rightarrow M E = M F$ $\Rightarrow M$ là trung điểm của EF

Câu 3