Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} 4 (2 a^{2} + a b + 2 b^{2}) = 5 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = 5 (a^{2} + b^{2}) + 3 {(a - b)}^{2} \geq 5 {(a + b)}^{2}, d o {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Vì a,b dương nên:

$2 \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq 5 (a + b) \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (a + b) (1)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi a= b

Chứng minh tương tự để có:

$\sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (b + c) (2),$

Dấu “=” xảy ra khi $b = c$

Và $\sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (c + a) (3),$ Dấu $" = "$ xảy ra khi c=a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức $(1), (2), (3)$ ta được:

$\sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} .2 (a + b + c) = 2019 \sqrt{5}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ a + b + c = 2019 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Vậy $P_{\min} = 2019 \sqrt{5} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} b) P = [\frac{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x}) + 2 x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})}] : [\frac{\sqrt{x} - 1 - 2 (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)}] \\ = \frac{3 \sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} : \frac{5 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{\sqrt{x} . (3 + \sqrt{x})}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} . \frac{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 3)}{5 - \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x} - 5} \end{array}$

Vậy $P = \frac{x}{\sqrt{x} - 5}$ với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25$

Câu 2

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ lầ đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( $A M < A N, M N$ không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN

a, Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (ảnh 1)

Vì I là trung điểm của MN nên $O I ⊥ M N \Rightarrow \hat{O I A} = 90^{0}$

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn Otại C nên $A C ⊥ O C \Rightarrow \hat{O C A} = 90^{0}$

Xét tứ giác AIOC có: $\hat{A I O} + \hat{A C O} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên suy ra tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp

Câu 3