Câu hỏi:

05/09/2022 272

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} 4 (2 a^{2} + a b + 2 b^{2}) = 5 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = 5 (a^{2} + b^{2}) + 3 {(a - b)}^{2} \geq 5 {(a + b)}^{2}, d o {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Vì a,b dương nên:

$2 \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq 5 (a + b) \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (a + b) (1)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi a= b

Chứng minh tương tự để có:

$\sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (b + c) (2),$

Dấu “=” xảy ra khi $b = c$

Và $\sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (c + a) (3),$ Dấu $" = "$ xảy ra khi c=a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức $(1), (2), (3)$ ta được:

$\sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} .2 (a + b + c) = 2019 \sqrt{5}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ a + b + c = 2019 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Vậy $P_{\min} = 2019 \sqrt{5} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c, Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF

Xem đáp án » 12/07/2024 4,581

Câu 2:

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,602

Câu 3:

a,Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x - 5$ và $(d_{2}) : y = 4 x - m$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $(d_{1})$ và $(d_{2})$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

Xem đáp án » 12/07/2024 3,123

Câu 4:

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh $A H . A O = A M . A N$ và tư giác $M N O H$ là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 3,099

Câu 5:

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ lầ đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( $A M < A N, M N$ không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN

a, Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 13/07/2024 2,634

Câu 6:

a, Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 9} = 3$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,132

Câu 7:

a, Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,263

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 44,823 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 12,885 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,303 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,530 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 10,713 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,100 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,285 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 8,519 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,414 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,393 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2a2+ab+2b2+2b2+bc+2c2+2c2+ca+2a2

Nhà sách VIETJACK:

c, Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF

b, Rút gọn biểu thức: P=x3+x+2x9−x:x−1x−3x−2x (với x>0,x≠9,x≠25)

a,Cho hai đường thẳng d1:y=2x−5 và d2:y=4x−m (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO=AM.AN và tư giác MNOH là tứ giác nội tiếp

a, Giải phương trình: 4x2−4x+9=3

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

a,Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x - 5$ và $(d_{2}) : y = 4 x - m$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $(d_{1})$ và $(d_{2})$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh $A H . A O = A M . A N$ và tư giác $M N O H$ là tứ giác nội tiếp

a, Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 9} = 3$