Câu hỏi:

05/09/2022 346

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} 4 (2 a^{2} + a b + 2 b^{2}) = 5 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = 5 (a^{2} + b^{2}) + 3 {(a - b)}^{2} \geq 5 {(a + b)}^{2}, d o {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Vì a,b dương nên:

$2 \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq 5 (a + b) \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (a + b) (1)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi a= b

Chứng minh tương tự để có:

$\sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (b + c) (2),$

Dấu “=” xảy ra khi $b = c$

Và $\sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} (c + a) (3),$ Dấu $" = "$ xảy ra khi c=a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức $(1), (2), (3)$ ta được:

$\sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{5}}{2} .2 (a + b + c) = 2019 \sqrt{5}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ a + b + c = 2019 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Vậy $P_{\min} = 2019 \sqrt{5} \Leftrightarrow a = b = c = 673$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

Xem đáp án » 13/07/2024 6,869

Câu 2:

c, Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF

Xem đáp án » 12/07/2024 5,308

Câu 3:

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ lầ đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( $A M < A N, M N$ không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN

a, Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 13/07/2024 4,181

Câu 4:

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh $A H . A O = A M . A N$ và tư giác $M N O H$ là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 3,984

Câu 5:

a,Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x - 5$ và $(d_{2}) : y = 4 x - m$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $(d_{1})$ và $(d_{2})$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

Xem đáp án » 12/07/2024 3,747

Câu 6:

a, Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 9} = 3$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,118

Câu 7:

a, Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,136

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2a2+ab+2b2+2b2+bc+2c2+2c2+ca+2a2

Bình luận

b, Rút gọn biểu thức: P=x3+x+2x9−x:x−1x−3x−2x (với x>0,x≠9,x≠25)

c, Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO=AM.AN và tư giác MNOH là tứ giác nội tiếp

a,Cho hai đường thẳng d1:y=2x−5 và d2:y=4x−m (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

a, Giải phương trình: 4x2−4x+9=3

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \sqrt{2 a^{2} + a b + 2 b^{2}} + \sqrt{2 b^{2} + b c + 2 c^{2}} + \sqrt{2 c^{2} + c a + 2 a^{2}}$

b, Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$ (với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25)$

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh $A H . A O = A M . A N$ và tư giác $M N O H$ là tứ giác nội tiếp

a,Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x - 5$ và $(d_{2}) : y = 4 x - m$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $(d_{1})$ và $(d_{2})$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox

a, Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 9} = 3$