Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz Chứng minh rằng : x2x4+zy+y2y4+xz+z2z4+xy≤32

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x4 và yz ta có : x4+yz≥2x4zy=2x2yz Tương tự : y4+xz≥2y2xzz4+xy≥2z2xy ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤x22x2yz+y22y2xz+z22z2xy⇔ x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤121yz+1xz+1xy⇔x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.x+y+zxyz Sử dụng bất đẳng thức phụ : a+b+c2≤3a2+b2+c2(sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh) x+y+z2≤3x+y+z⇒x+y+z2≤3.x2+y2+z2=9xyz⇒x+y+z≤3xyz⇒x+y+z2≤3.3xyz=9xyz⇒x+y+z≤3xyz4⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4 Ta sẽ chứng minh xyz4≥1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số x2,y2,z2ta được : x2+y2+z2≥3xyz23⇒3xyz≥3xyz23⇒xyz3≥1( do xyz>0)⇒xyz≥1⇒xyz4≥1 ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4≤32 Dấu "="xảy ra khi x=y=z=1

Câu hỏi:

19/08/2025 1,033

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm tổng cộng 300 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện thì phân xưởng 1 vượt mức 10% so với kế hoạch, phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch. Do đó cả hai phân xưởng đã làm được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi phân xưởng phải làm kế hoạch.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số sản phẩm phân xưởng I phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm) $(x \in ℕ *)$

$\Rightarrow$ số sản phẩm phân xưởng II làm theo kế hoạch là 300 - x (sản phẩm)

Vì khi thực hiện thì phân xưởng I vượt mức 10% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng I làm được là : $x + x .10 % = x + 0,1 x = 1,1 x$ (sản phẩm)

Phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng 2 làm được là : $300 - x + (300 - x) .20 % = (300 - x) .1,2$ (sản phẩm)

Tổng số sản phẩm cả hai phân xưởng làm được là 340 sản phẩm nên ta có phương trình : $1,1 x + (300 - x) .1,2 = 340 \Leftrightarrow x = 200 (t m)$

Vậy phân xưởng I cần làm 200 sản phẩm và phân xưởng II cần làm $300 - 200 = 100$ sản phẩm

Câu 2

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

Xem đáp án

Lời giải

b) Do MC, MD là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là phân giác của $∠ C M D h a y M I$ là phân giác của $∠ C M D (1)$

OI là phân giác của $∠ C O D$ hay $∠ C O I = ∠ D O I \Rightarrow C I = D I \Rightarrow ∠ I C M = ∠ I C D$

Suy ra CI là phân giác của $∠ M C D (2)$

Từ $(1), (2) \Rightarrow I$ là giao điểm của các đường phân giác của $∆ M C D$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD(đpcm)

Câu 3

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức $A > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MA, MD với đường tròn (C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức $A > 0$

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

a) Rút gọn biểu thức A