Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz Chứng minh rằng : x2x4+zy+y2y4+xz+z2z4+xy≤32

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x4 và yz ta có : x4+yz≥2x4zy=2x2yz Tương tự : y4+xz≥2y2xzz4+xy≥2z2xy ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤x22x2yz+y22y2xz+z22z2xy⇔ x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤121yz+1xz+1xy⇔x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.x+y+zxyz Sử dụng bất đẳng thức phụ : a+b+c2≤3a2+b2+c2(sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh) x+y+z2≤3x+y+z⇒x+y+z2≤3.x2+y2+z2=9xyz⇒x+y+z≤3xyz⇒x+y+z2≤3.3xyz=9xyz⇒x+y+z≤3xyz4⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4 Ta sẽ chứng minh xyz4≥1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số x2,y2,z2ta được : x2+y2+z2≥3xyz23⇒3xyz≥3xyz23⇒xyz3≥1( do xyz>0)⇒xyz≥1⇒xyz4≥1 ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4≤32 Dấu "="xảy ra khi x=y=z=1

Câu hỏi:

06/09/2022 209

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm tổng cộng 300 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện thì phân xưởng 1 vượt mức 10% so với kế hoạch, phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch. Do đó cả hai phân xưởng đã làm được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi phân xưởng phải làm kế hoạch.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,472

Câu 2:

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

Xem đáp án » 13/07/2024 6,388

Câu 3:

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

Xem đáp án » 13/07/2024 1,815

Câu 4:

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức $A > 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,727

Câu 5:

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MA, MD với đường tròn (C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

Xem đáp án » 06/09/2022 1,217

Câu 6:

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án » 13/07/2024 811

Câu 7:

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $(d) : y = (m^{2} - 4) x + m^{2} - 3$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án » 11/07/2024 420

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án

2 đề 45,603 lượt thi Thi thử
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án

2 đề 13,250 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,650 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,886 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 11,026 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,479 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,451 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 9,164 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,773 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,570 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz Chứng minh rằng : x2x4+zy+y2y4+xz+z2z4+xy≤32

Nhà sách VIETJACK:

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức A>0

Cho biểu thức A=1x−x+1x−1:x+1x−12 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y=m2−4x+m2−3 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức $A > 0$

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $(d) : y = (m^{2} - 4) x + m^{2} - 3$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt