Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz Chứng minh rằng : x2x4+zy+y2y4+xz+z2z4+xy≤32

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x4 và yz ta có : x4+yz≥2x4zy=2x2yz Tương tự : y4+xz≥2y2xzz4+xy≥2z2xy ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤x22x2yz+y22y2xz+z22z2xy⇔ x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤121yz+1xz+1xy⇔x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.x+y+zxyz Sử dụng bất đẳng thức phụ : a+b+c2≤3a2+b2+c2(sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh) x+y+z2≤3x+y+z⇒x+y+z2≤3.x2+y2+z2=9xyz⇒x+y+z≤3xyz⇒x+y+z2≤3.3xyz=9xyz⇒x+y+z≤3xyz4⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4 Ta sẽ chứng minh xyz4≥1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số x2,y2,z2ta được : x2+y2+z2≥3xyz23⇒3xyz≥3xyz23⇒xyz3≥1( do xyz>0)⇒xyz≥1⇒xyz4≥1 ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4≤32 Dấu "="xảy ra khi x=y=z=1

Câu hỏi:

06/09/2022 219

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm tổng cộng 300 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện thì phân xưởng 1 vượt mức 10% so với kế hoạch, phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch. Do đó cả hai phân xưởng đã làm được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi phân xưởng phải làm kế hoạch.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,786

Câu 2:

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

Xem đáp án » 13/07/2024 6,821

Câu 3:

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức $A > 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,499

Câu 4:

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

Xem đáp án » 13/07/2024 1,958

Câu 5:

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MA, MD với đường tròn (C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

Xem đáp án » 06/09/2022 1,278

Câu 6:

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án » 13/07/2024 847

Câu 7:

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $(d) : y = (m^{2} - 4) x + m^{2} - 3$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án » 11/07/2024 438

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP