Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz Chứng minh rằng : x2x4+zy+y2y4+xz+z2z4+xy≤32

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x4 và yz ta có : x4+yz≥2x4zy=2x2yz Tương tự : y4+xz≥2y2xzz4+xy≥2z2xy ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤x22x2yz+y22y2xz+z22z2xy⇔ x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤121yz+1xz+1xy⇔x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.x+y+zxyz Sử dụng bất đẳng thức phụ : a+b+c2≤3a2+b2+c2(sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh) x+y+z2≤3x+y+z⇒x+y+z2≤3.x2+y2+z2=9xyz⇒x+y+z≤3xyz⇒x+y+z2≤3.3xyz=9xyz⇒x+y+z≤3xyz4⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4 Ta sẽ chứng minh xyz4≥1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số x2,y2,z2ta được : x2+y2+z2≥3xyz23⇒3xyz≥3xyz23⇒xyz3≥1( do xyz>0)⇒xyz≥1⇒xyz4≥1 ⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4≤32 Dấu "="xảy ra khi x=y=z=1

Câu hỏi:

06/09/2022 274

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{x^{4} + z y} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm tổng cộng 300 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện thì phân xưởng 1 vượt mức 10% so với kế hoạch, phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch. Do đó cả hai phân xưởng đã làm được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi phân xưởng phải làm kế hoạch.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số sản phẩm phân xưởng I phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm) $(x \in ℕ *)$

$\Rightarrow$ số sản phẩm phân xưởng II làm theo kế hoạch là 300 - x (sản phẩm)

Vì khi thực hiện thì phân xưởng I vượt mức 10% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng I làm được là : $x + x .10 % = x + 0,1 x = 1,1 x$ (sản phẩm)

Phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng 2 làm được là : $300 - x + (300 - x) .20 % = (300 - x) .1,2$ (sản phẩm)

Tổng số sản phẩm cả hai phân xưởng làm được là 340 sản phẩm nên ta có phương trình : $1,1 x + (300 - x) .1,2 = 340 \Leftrightarrow x = 200 (t m)$

Vậy phân xưởng I cần làm 200 sản phẩm và phân xưởng II cần làm $300 - 200 = 100$ sản phẩm

Câu 2

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

Xem đáp án

Lời giải

b) Do MC, MD là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là phân giác của $∠ C M D h a y M I$ là phân giác của $∠ C M D (1)$

OI là phân giác của $∠ C O D$ hay $∠ C O I = ∠ D O I \Rightarrow C I = D I \Rightarrow ∠ I C M = ∠ I C D$

Suy ra CI là phân giác của $∠ M C D (2)$

Từ $(1), (2) \Rightarrow I$ là giao điểm của các đường phân giác của $∆ M C D$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD(đpcm)

Câu 3