Cho tam giác ABC có $∠ B, ∠ C$ là các góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2 B C^{2} + A C^{2} + A B^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Kẻ đường cao AH . Vì $∠ B, ∠ C$ là các góc nhọn nên H thuộc đoạn thẳng BC

Áp dụng định lý Pytago ta có :

$\begin{array}{l} A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}; A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow P = 2 B C^{2} + 2 A H^{2} + B H^{2} + H C^{2} \end{array}$

Ta có : $B C^{2} + A H^{2} \geq 2 B C . A H = 4 S_{Δ A B C}$

$B H^{2} + C H^{2} \geq \frac{{(B H + C H)}^{2}}{2} = \frac{B C^{2}}{2}$

Do $S_{Δ A B C}$ không đổi, A, B, C cố định nên P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8 S_{A B C} + \frac{B C^{2}}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $B H = C H \Leftrightarrow Δ A B C$ cân tại A

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0$ (với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ với mọi m. Tìm các giá trị của tham số m sao cho $|x_{1} - x_{2}| = 4$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có : $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0 (1)$

Phương trình (1) có : $Δ' = {(m - 1)}^{2} - m + 3 = m^{2} - 3 m + 4 = {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ (với mọi m). Khi đó theo định lý Vi – et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 2 \\ x_{1} x_{2} = m - 3 \end{cases}$

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{l} |x_{1} - x_{2}| = 4 \Leftrightarrow x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 16 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow {(2 m - 2)}^{2} - 4 (m - 3) - 16 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 12 m = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 3 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy $m \in \{0; 3\}$ thỏa đề

Câu 2

a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng chiều dài lên 2m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1 m^{2}$ Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu : $x (m), (x > 0)$

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là : 24: 2 = 12 (m)

$\Rightarrow$ Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là : 12 - x (m)

Khi tăng chiều dài lên 2m thì độ dài chiều dài : x + 2 (m)

Khi giảm chiều rộng đi 1m thì độ dài chiều rộng : $12 - x - 1 = 11 - x (m)$

Vì khi tăng chiều dài lên 2m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1 m^{2}$ nên ta có :

$\begin{array}{l} (x + 2) (11 - x) - x (12 - x) = 1 \\ \Leftrightarrow 11 x - x^{2} + 22 - 2 x - 12 x + x^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow 3 x = 21 \Leftrightarrow x = 7 (t m) \end{array}$

$\Rightarrow$ Chiều rộng hình chữ nhật là 12 - 7 = 5 (m)

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 7m và 5m

Câu 3