Câu hỏi:

14/09/2022 448

Trong một đường tròn cho trước, hãy nội tiếp một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi bán kính đường tròn là R và cạnh AB của hình chữ nhật cần tìm là x. Theo định lí Pythagore, ta có: $B C = \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ , từ đó suy ra biểu thức của diện tích S là $S = x \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ .

Hàm số này và hàm số $y = S^{2}$ đạt giá trị cực đại với cùng một giá trị của x. Mà $y = x^{2} (4 R^{2} - x^{2})$ .

Đặt $x^{2} = z$ , ta có: $y = z (4 R^{2} - z) = - z^{2} + 4 R^{2} z$ .

Nghĩa là $y_{\max}$ đạt được khi $z = 2 R^{2}$ tức là khi $x = R \sqrt{2}$ .

Ta nhận thấy rằng khi $A B = x = R \sqrt{2}$ thì $B C = R \sqrt{2}$ , ta nhìn thấy hình chữ nhật cần tìm là hình vuông. Hay ta có kết luận: “Trong các hình chữ nhật nội tiếp cùng một đường tròn thì hình vuông có diện tích lớn nhất”.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao cho phần còn lại của miếng bìa theo những đường chấm thành một hộp có thể tích lớn nhất (hình vẽ).

Xem đáp án

Lời giải

Nếu ta ký hiệu y là thể tích của hình hộp chữ nhật, còn x là đương cao của hộp, thì: $y = {(a - 2 x)}^{2} x$ .

Ta có: $y = \frac{1}{4} (a - 2 x) . (a - 2 x) .4 x$

$\leq \frac{1}{4} {(\frac{a - 2 x + a - 2 x + 4 x}{3})}^{3}$

$= \frac{2 a^{3}}{27}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{a}{6}$ .

Kết luận: thể tích hình hộp lớn nhất là $\frac{2 a^{3}}{27}$ khi $x = \frac{a}{6}$ .

Câu 2

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là a. Độ dài của đáy lớn (bề ngang của mặt mương) hình thang là bao nhiêu để diện tích của mặt cắt là lớn nhất (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên (ảnh 1)

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng

Đặt x là độ dài của hình chiếu cạnh bên hình thang xuống đáy lớn (bề rộng mương). Khi đó:

$S = \frac{1}{2} (a + a + x + x) . \sqrt{a^{2} - x^{2}} = (a + x) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Hay: $S^{2} = {(a + x)}^{3} (a - x)$

Hoặc: $S^{2} = \frac{1}{3} (a + x) (a + x) (a + x) (3 a - 3 x),0 < x < a$ .

Áp dụng hệ quả 3 ở trên ta có:

$\frac{1}{3} (a + x) (a + x) (a + x) (3 a - 3 x)$

$\leq \frac{1}{3} {(\frac{a + x + a + x + a + x + 3 a - 3 x}{4})}^{4}$

$= \frac{1}{3} {(\frac{3 a}{2})}^{4} = \frac{27}{16} a^{4}$

Vậy $S_{\max} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} a^{2}$ khi $x = \frac{a}{2}$ .

Lúc này, cạnh lớn của hình thang có chiều dài là 2a, góc nhọn của nó là 60⁰.

Câu 3

Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Từ tất cả hình chữ nhật với chu vi đã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong một đường tròn cho trước, hãy nội tiếp một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bình luận

Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao cho phần còn lại của miếng bìa theo những đường chấm thành một hộp có thể tích lớn nhất (hình vẽ).

Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?

Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.

Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất.

Từ tất cả hình chữ nhật với chu vi đã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu