Chủ đề 6: Phương pháp bất đẳng thức trong chứng minh các bài toán thực tế

Giả sử các giao điểm của ba con đường là các đỉnh của một tam giác ABC và $AB\ge BC\ge AC$. Đặt khoảng cách từ điểm D bất kỳ đến các cạnh của tam giác $AB,BC,CA$ lần lượt là x, y và z.

Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của tam giác $ADB,BDC$ và ADC:

$S=\frac{1}{2}x.AB+\frac{1}{2}y.BC+\frac{1}{2}z.AC\le \frac{1}{2}(x+y+z).AB$.

Từ đó ta có bất đẳng thức $x+y+z\ge \frac{2S}{AB}$, trong đó dấu bất đắng thức chỉ xảy ra:

Hoặc khi z=y=0, nếu $AB>BC$,

Hoặc khi z=0, nếu $AB=BC<AC$,

Hoặc khi z, y, z bất kỳ, nếu $AB=BC=AC$.

Như vậy, ứng với các trường hợp ta có kết luận:

-   Xí nghiệp phải đặt ở đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất.

-   Nếu có hai cạnh lớn nhất bằng nhau, thì xí nghiệp đặt ở điểm bất kì trên cạnh nhỏ nhất.

-   Nếu cả ba cạnh bằng nhau thì xí nghiệp đặt bất kì đầu trong tam giác kể cả trên một cạnh nào đó.

Giả sử $AC\ge BC$ (C là vị trí thành phố, còn B và A là vị trí của hai điểm dân cư). Gọi D là điểm đối xứng với B qua điểm C. Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn AB tại E hoặc cắt đoạn AD tại F.

1)                  Trường hợp thứ nhất.

Diện tích $S_{ABC}=S_{AEC}+S_{BEC}$

Nghĩa là $S_{ABC}=\frac{1}{2}x.CE+\frac{1}{2}y.CE=\frac{1}{2}(x+y).CE$

2)                  Trường hợp thứ hai. Tương tự như phần 1 (x là khoảng cách từ A đến CF, y là khoảng cách từ B đến CF), diện tích $S_{ACD}=S_{AFC}+S_{DFC}$

Nghĩa là: $S_{ACD}=\frac{1}{2}x.CF+\frac{1}{2}y.CF=\frac{1}{2}(x+y).CF$.

Vì vậy giá trị x+y nhỏ nhất khi các giá trị CE hoặc CF tương ứng càng lớn. Độ dài này lớn nhất khi $E\equiv F\equiv A$.

Nếu $AC>BC=DC$ hoặc trường hợp $AC=BC=DC$ thì con đường đi qua B hoặc đi qua A đều như nhau.

Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, còn nếu thành phố C cách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất cứ điểm dân cư nào.

Nếu ta ký hiệu y là thể tích của hình hộp chữ nhật, còn x là đương cao của hộp, thì: $y={(a-2x)}^{2}x$.

Ta có: $y=\frac{1}{4}(a-2x).(a-2x).4x$

$\le \frac{1}{4}{\left(\frac{a-2x+a-2x+4x}{3}\right)}^3$

$=\frac{2a^3}{27}$

Dấu “=” xảy ra khi $x=\frac{a}{6}$.

Kết luận: thể tích hình hộp lớn nhất là $\frac{2a^3}{27}$ khi $x=\frac{a}{6}$.

Ta kí hiệu x là độ dài của cạnh khu vườn mà nó vuông góc với con kênh. Khi đó độ dài của hàng rào được tính: $P=2x+\frac{S}{x},x>0$.

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: $P\ge 2\sqrt{2x.\frac{S}{x}}$.

Như vậy P đạt được giá trị nhỏ nhất là $P_{\min }=2\sqrt{2S}$ khi $2x=\frac{S}{x}$, nghĩa là $x=\sqrt{\frac{S}{2}}$. Từ đây ta cũng tính được cạnh kia của hình chữ nhật.

Đặt 2a là chu vi đã cho của những hình chữ nhật. Khi đó tổng x+y của hai cạnh hình chữ nhật x và y là một đại lượng không đổi a, nhưng diện tích xy là một biến số, mà ta muốn có giá trị lớn nhất.

Trung bình cộng của hai đại lượng là $m=\frac{x+y}{2}$.

Ta kí hiệu $d=\frac{x-y}{2}$, ta nhận được $x=m+d,y=m-d$.

Vì vậy: $xy=(m+d)(m-d)=m^2-d^2=\frac{{(x+y)}^2}{4}-d^2$.

Vì $d^2$ là một số dương nên ta có: $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$, ở đây dấu bằng thì xảy ra khi d=0 hoặc là x=y=m.