Chủ đề 2: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông có đáp án

Gọi chiều cao cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC.

Ta có $\widehat{BAC}={90}^0$.

Theo giả thiết, ta có $\widehat{BCA}={42}^0$.

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông ở A, ta có:

$\tan \widehat{BCA}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC.\tan \widehat{BCA}\approx \mathrm{7,5.}\tan {42}^0\approx \mathrm{6,75}$ (cm).

Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHB vuông tại H, ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2={12}^2+5^2=144+25=169$.

Do đó $AB=\sqrt{169}=13$ (cm).

Suy ra: $\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{12}{13}$.

Ta có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$.

$\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}=\frac{A{B}^2-A{H}^2}{A{H}^2.A{B}^2}=\frac{{13}^2-{12}^2}{{13}^2{.12}^2}=\frac{25}{24336}$.

Vậy $AC=\sqrt{\frac{24336}{25}}\approx \mathrm{31,2}$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H:

$H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2\approx {\mathrm{31,2}}^2-{12}^2=\mathrm{829,44}$.

Vậy $HC=\sqrt{\mathrm{829,44}}\approx \mathrm{28,8}$ (cm).

Ta có: $BC=BH+HC=5+\mathrm{28,8}=\mathrm{33,8}$ (cm).

Vậy: $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{13}{\mathrm{33,8}}$.

Ta có: $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{13}$.

Áp dụng công thức

${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$, ta được:

${\sin }^{2}B=1-{\cos }^{2}B=1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$

Từ đó, ta có: $\sin B=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$ (do sinB > 0)

$\frac{AB}{AC}=\frac{15}{8}$.

Ta có: $\text{cotan}B=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{8}\Rightarrow \tan B=\frac{1}{\text{cotan}B}=\frac{1}{\frac{15}{8}}=\frac{8}{15}$.

Theo công thức lượng giác, ta được:

$\frac{1}{{\sin }^{2}B}={\text{cotan}}^{2}B+1={\left(\frac{15}{8}\right)}^2+1=\frac{225}{64}+1=\frac{289}{64}$

Từ đây, suy ra: $sinB=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}$ (do sinB > 0).