Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình bậc hai trong các bài toán thực tiễn

Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu đi về phía Nam, x > 0.

Suy ra x + 6 (km/h) là vận tốc của tàu đi về phía Đông.

Sau 2 giờ, khoảng cách từ A đến tàu đi về phía Nam là: $AN=2x$ (km) và khoảng cách từ A đến tàu đi về phía Đông là: $AD=2(x+6)$ (km).

Tam giác ADN vuông góc tại A nên khoảng cách DN của hai tàu cho bởi:
 $D{N}^2=A{N}^2+A{D}^2$.

Hay ta có

${60}^2={\left(2x\right)}^2+{\text{[}2(x+6)\text{]}}^2\iff 3600=4x^2+4(x^2+12x+36)\iff 8x^2+48x-3456=0$.

Ta được phương trình bậc hai: $x^2+6x-432=0$

Giải phương trình ta được $x=18;x=-24$ (loại).

Vậy vận tốc tàu đi về phía Nam là 18km/h.

Vận tốc tàu đi về phía Đông là 24km/h.

Gọi M là vị trí xe mô tô sau khi khởi hành t (h) và

N là vị trí xe đạp sau khi khởi hành t (h).

Ta có: $BM=120-30t$.

$BN=10t$.

Sử dụng định lí Pythagore, ta được:

$z=M{N}^2=1000t^2-7200t+14400=1000{(t-\mathrm{3,6})}^2+1440$.

Vậy MN ngắn nhất khi 3,6 (h) 3 giờ 36 phút.

Góc A của tam giác vuông ABC với góc A là góc của tam giác đều $A{B}_1{C}_1$ là một góc.

Vậy $\widehat{A}={60}^0$.

Giả sử lúc đầu $AC=x$ (km). Vậy $AB=\frac{x}{2}$ (km).

Ta có: $B{B}_1=\frac{x}{2}-(x-25)=\frac{50-x}{2}$.

Gọi $v_1$ là vận tốc ô tô; $v_2$ là vận tốc xe đạp. Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\frac{25}{v_1}=\frac{50-x}{2v_2}\\ \frac{x}{v_1}=\frac{x-24}{2v_2}\end{array}\right.$

Hệ phương trình này đưa đến phương trình

                        $x^2-25x-600=0$, $0<x<50$.

Giải phương trình ta được x = 40.

Vì $\frac{BC}{x}=\sin {60}^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=20\sqrt{3}$ (km).

Gọi $v_1$ (km/h) là vận tốc của thuyền 1,

$v_2$ (km/h) là vận tốc của thuyền 2.

$T_1$ và $T_2$ là vị trí của thuyền 1, 2 sau 30 phút.

${T^{\text{'}}}_1$ và ${T^{\text{'}}}_2$ là vị trí của thuyền 1, 2 sau 15 phút nữa.

Theo giả thiết: $\left\{\begin{array}{c}{T}_1{T}_2=15\\ A{T^{\text{'}}}_1-A{T^{\text{'}}}_2=\mathrm{4,5}\end{array}\right.$.

Đưa đến hệ: $\left\{\begin{array}{c}{v}_1^2+v_2^2=900\\ v_1-v_2=6\end{array}\right.$ dẫn đến $v_1^2+6v_2-432=0$.

Giải phương trình ta được $v_2=18$ (km/h) thoả mãn bài toán

Vậy vận tốc thuyền 1 là 24 (km/h) và vận tốc thuyền 2 là 18 (km/h).