Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình bậc hai trong các bài toán thực tiễn

Thi Online Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình bậc hai trong các bài toán thực tiễn

5491 lượt thi
6 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Sau khi gặp nhau tại một điểm A trên mặt biển, một tàu đi về phía Nam, một tàu đi về phía Đông với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu kia 6km/h. Hai giờ sau khi gặp nhau, hai tàu cách nhau 60km. Tính vận tốc của mỗi tàu.

Xem đáp án

Sau khi gặp nhau tại một điểm A trên mặt biển, một tàu đi về phía Nam, một tàu đi về phía (ảnh 1)

Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu đi về phía Nam, x > 0.

Suy ra x + 6 (km/h) là vận tốc của tàu đi về phía Đông.

Sau 2 giờ, khoảng cách từ A đến tàu đi về phía Nam là: $A N = 2 x$ (km) và khoảng cách từ A đến tàu đi về phía Đông là: $A D = 2 (x + 6)$ (km).

Tam giác ADN vuông góc tại A nên khoảng cách DN của hai tàu cho bởi:
$D N^{2} = A N^{2} + A D^{2}$ .

Hay ta có

$60^{2} = {(2 x)}^{2} + {[2 (x + 6)]}^{2} \Leftrightarrow 3600 = 4 x^{2} + 4 (x^{2} + 12 x + 36) \Leftrightarrow 8 x^{2} + 48 x - 3456 = 0$ .

Ta được phương trình bậc hai: $x^{2} + 6 x - 432 = 0$

Giải phương trình ta được $x = 18; x = - 24$ (loại).

Vậy vận tốc tàu đi về phía Nam là 18km/h.

Vận tốc tàu đi về phía Đông là 24km/h.

Câu 2:

Hai địa điểm A, B cách nhau 120km trên một đường thẳng. Một xe mô tô khởi hành từ A chạy về B với vận tốc 80km/h. Cùng lúc đó, một xe đạp khởi hành từ B chạy trên đường thẳng vuông góc với AB với vận tốc 10km/h. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa 2 xe là ngắn nhất.

Xem đáp án

Hai địa điểm A, B cách nhau 120km trên một đường thẳng. Một xe mô tô khởi hành từ A chạy về (ảnh 1)

Gọi M là vị trí xe mô tô sau khi khởi hành t (h) và

N là vị trí xe đạp sau khi khởi hành t (h).

Ta có: $B M = 120 - 30 t$ .

$B N = 10 t$ .

Sử dụng định lí Pythagore, ta được:

$z = M N^{2} = 1000 t^{2} - 7200 t + 14400 = 1000 {(t - 3,6)}^{2} + 1440$ .

Vậy MN ngắn nhất khi 3,6 (h) 3 giờ 36 phút.

Câu 3:

Một ô tô C, một xe đạp B và điểm cố định A đang ở vị trí tạo thành tam giác vuông tại B. Ô tô và xe đạp khởi hành cùng một lúc đi về phía A theo các cạnh của tam giác ABC. Sau khi ô tô đi được 25km thì tam giác tạo bởi điểm A, ô tô C, xe đạp B là tam giác đều. Khi ô tô đến A thì xe đạp còn phải đi 12km nữa mới đến A. Tìm khoảng cách ban đầu của ô tô và xe đạp.

Xem đáp án

Một ô tô C, một xe đạp B và điểm cố định A đang ở vị trí tạo thành tam giác vuông tại B. Ô tô và (ảnh 1)

Góc A của tam giác vuông ABC với góc A là góc của tam giác đều $A B_{1} C_{1}$ là một góc.

Vậy $\hat{A} = 60^{0}$ .

Giả sử lúc đầu $A C = x$ (km). Vậy $A B = \frac{x}{2}$ (km).

Ta có: $B B_{1} = \frac{x}{2} - (x - 25) = \frac{50 - x}{2}$ .

Gọi $v_{1}$ là vận tốc ô tô; $v_{2}$ là vận tốc xe đạp. Ta có: $\{\begin{matrix} \frac{25}{v_{1}} = \frac{50 - x}{2 v_{2}} \\ \frac{x}{v_{1}} = \frac{x - 24}{2 v_{2}} \end{matrix}$

Hệ phương trình này đưa đến phương trình

$x^{2} - 25 x - 600 = 0$ , $0 < x < 50$ .

Giải phương trình ta được x = 40.

Vì $\frac{B C}{x} = \sin 60^{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow B C = 20 \sqrt{3}$ (km).

Câu 4:

Người ta phải đắp 100m nền của đường ray xe lửa có thiết diện ngang là một hình thang cân, đáy dưới dài 5m, đáy trên không nhỏ hơn 3m, độ dốc hai bên bằng 45⁰. Tính chiều cao của nền sao cho thể tích đào đắp không nhỏ hơn $400 m^{3}$ và không lớn hơn $500 m^{3}$ đất.

Xem đáp án

Người ta phải đắp 100m nền của đường ray xe lửa có thiết diện ngang là một hình thang cân, đáy (ảnh 1)

Gọi độ dài của đáy nhỏ của nền là: $C D = 2 x (x \geq 1)$

I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD.

Kẻ CH vuông góc với AB tại H.

Ta có: $B H = B I - I H = 2,5 - x$ .

Tam giác CHB vuông cân nên:
$C H = B H = 2,5 - x$ .

Diện tích hình thang cân ABCD là:

$(A B + C D) . \frac{C H}{2} = \frac{(5 + 2 x) (2,5 - x)}{2}$

Thể tích đất đào để đắp là: $\frac{100 (5 + 2 x) (2,5 - x)}{2} (m^{3})$ .

Theo giả thiết, ta có:

$400 \leq \frac{100 (5 + 2 x) (2,5 - x)}{2} \leq 500$

$16 \leq (5 + 2 x) (5 - 2 x) \leq 20$

x thoả hệ bất phương trình:

$\{\begin{matrix} 4 x^{2} - 9 \leq 0 \\ 4 x^{2} - 5 \geq 0 \end{matrix}, x > 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} (2 x + 3) (2 x - 3) \leq 0 \\ 2 x - \sqrt{5} \geq 0 \end{matrix}, x > 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x - 3 \leq 0 \\ 2 x - \sqrt{5} \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$

Đường cao $C H = 2,5 - x$

Vậy $2,5 - \frac{3}{2} \leq 2,5 - x \leq 2,5 - \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Vậy chiều cao của nên phải thoả mãn $1 (m) \leq h \leq \frac{5 - \sqrt{5}}{2} (m)$ .

Câu 5:

Hai chiếc thuyền rời điểm A trên bãi biển cùng một lúc và đi theo hai hướng vuông góc với nhau. Nửa giờ sau, hai thuyền cách nhau 15km. 15 phút theo đó thuyền thứ nhất cách xa A hơn thuyền thứ hai 4,5km. Hỏi vận tốc của mỗi thuyền.

Xem đáp án

Hai chiếc thuyền rời điểm A trên bãi biển cùng một lúc và đi theo hai hướng vuông góc với (ảnh 1)

Gọi $v_{1}$ (km/h) là vận tốc của thuyền 1,

$v_{2}$ (km/h) là vận tốc của thuyền 2.

$T_{1}$ và $T_{2}$ là vị trí của thuyền 1, 2 sau 30 phút.

${T^{'}}_{1}$ và ${T^{'}}_{2}$ là vị trí của thuyền 1, 2 sau 15 phút nữa.

Theo giả thiết: $\{\begin{matrix} T_{1} T_{2} = 15 \\ A {T^{'}}_{1} - A {T^{'}}_{2} = 4,5 \end{matrix}$ .

Đưa đến hệ: $\{\begin{matrix} v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 900 \\ v_{1} - v_{2} = 6 \end{matrix}$ dẫn đến $v_{1}^{2} + 6 v_{2} - 432 = 0$ .

Giải phương trình ta được $v_{2} = 18$ (km/h) thoả mãn bài toán

Vậy vận tốc thuyền 1 là 24 (km/h) và vận tốc thuyền 2 là 18 (km/h).

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 0: Hệ thức lượng có đáp án

( 1.1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án

( 861 lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 2: Tổng quan về đường tròn có đáp án

( 1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

( 0.9 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 4: Góc và đường tròn có đáp án

( 1.3 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

( 3.5 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Biểu thức số có đáp án

( 1.1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 3: Phương trình có đáp án

( 1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án

( 859 lượt thi )

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án

( 750 lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án