Chủ đề 5: Trồng cây thẳng hàng trong thực tế có liên quan đến toán học không?

🔥 Học sinh cũng đã học

84 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 1 (Hà Nội) có đáp án

567 lượt thi 8 câu hỏi

62 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Kim Giang (Hà Nội) có đáp án

545 lượt thi 8 câu hỏi

39 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Xã Đại Thanh (Hà Nội) có đáp án

522 lượt thi 8 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Hồng Vân (Hà Nội) có đáp án

519 lượt thi 9 câu hỏi

39 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

522 lượt thi 7 câu hỏi

34 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS&THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

517 lượt thi 8 câu hỏi

30 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) có đáp án

513 lượt thi 8 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

519 lượt thi 10 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/8

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1

Newton đưa ra cách giải như sau:

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 1)

Các hàng là: $A B C, A Y C^{'}, A X B^{'}, B X A^{'}, B Y B^{'}, B Z C^{'}, C Y A^{'}, C Z B^{'}, X Y Z, A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Rõ ràng đây là một cách giải thú vị. ngoài cách giải này, chúng ta có cách giải khác như sau

Cách 2

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 2)

Các hàng là: $A B C, A F E, A H D, C D E, C H K, C G F, B K E, B G D, F K D, E H G$ .

Bản chất của các cách trồng cây thẳng hàng này như thế nào? Mỗi cách trồng cây có một cơ sở toán học ẩn chứa đằng sau và các cách giải trên không phải ngoại lệ. Tuy nhiên có nhiều cách giải chỉ đưa ra được đáp án mà chưa tìm được cơ sở toán là bản chất của cách trồng cây vì đó là vấn đề rất phức tạp vượt quá khả năng của chúng tôi.

Câu 2/8

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; BC' và B'C là C''. Chứng minh rằng ba điểm A'', B'', C'' thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 1)

Trường hợp 1: $A^{''} C^{''}$ không đi qua X $(X = A C \cap A^{'} C^{'})$

Kí hiệu $Y = A^{''} C^{''} \cap A^{'} C^{'}; Z = A^{''} C^{''} \cap A C$ ; ta gọi:

$B^{''} = A^{''} C^{''} \cap A C^{'}$ . Ta cần chứng minh: $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng.

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ .

$A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C Z}{C X} = 1$ (1)

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A^{'}, A^{''}, B$ , ta có:

$\frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{B Z}{B X} = 1$ (2)

Tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $B^{'}, C, C^{''}$ , ta có:

$\frac{C Z}{C X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A, B^{''}, C^{'}$ , ta có;

$\frac{A Z}{A X} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} = 1$ (4)

Do $A, A^{''}, B^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{A Z}{A X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} = 1$ (5)

Do $B, C^{''}, C^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{B Z}{B X} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: $A^{''} C^{''}$ đi qua X

Bạn đọc tự xét trường hợp này.

Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 2)

Câu 3/8

Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi K là giao điểm của DE và CM. Gọi H là giao điểm của DF và EM. Chứng minh rằng các đường thẳng $A D, B K, C H$ đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương (ảnh 1)

Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E, K, D) và tam giác BMA (với bộ ba điểm thẳng hàng F, H, D), ta có

$\frac{K M}{K C} . \frac{E C}{E A} . \frac{D A}{D M} = 1, \frac{B H}{H M} . \frac{D M}{D A} . \frac{F A}{F B} = 1$

Suy ra $\frac{K M}{K C} . \frac{E A}{E C} . \frac{D M}{D A}, \frac{B H}{H M} = \frac{F B}{F A} . \frac{D A}{D M}$ (1)

Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy $A D, B E, C F$ : $\frac{C D}{B D} . \frac{B F}{F A} . \frac{A E}{E C} = 1$ .

Từ đó: $\frac{C D}{B D} = \frac{F A}{B F} . \frac{E C}{A E}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{K M}{K C} . \frac{B H}{H M} . \frac{C D}{B D} = 1$ .

Vậy theo phần đảo của định lí Céva, $B K, C H, M D$ đồng quy, hay $A D, B K, C H$ đồng quy.

Câu 4/8

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 1)

Các hàng là $A B C, A T C^{'}, A D B^{'}, A^{'} B^{'} C^{'}, A^{'} T C, A^{'} D B, D I C, D K C^{'}, B T K, B I C^{'}, B^{'} T I, B^{'} K C$ .

Cách 2

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 2)

Các hàng là: $A C^{'} B, A T A^{'}, A K D, A B^{'} C, B^{'} I B, B^{'} K A^{'}, C K C^{'}, C T I, C D A^{'}, D T C^{'}, A^{'} I C^{'}, B T K$ .

Cách 3

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 3)

Các hàng là: $E G K, E A I, E B H, C B A, C H G, C I K, D H A, D I G, H I F, B K F, A G F$ .

Cách 4

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 4)

Các hàng là $A D B, A F C, B H E, B K F, B G C, G H D, G K E, G I F, C K D, C I E, H K I, D E F$ .

Câu 5/8

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 18 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 18 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Các hàng là: $A E T N, A X Z C, A F Y P, M E F Q, M X G D, M T J C, M L K N, B L X Q, B T Y D, B K Z P, N Z H D,$

$N J I P, C I Y Q, P H G Q, E X Y H, L T Z I, F X T K, G Y Z J$ .

Câu 6/8

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có một cách trồng cây như sau:

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Câu 7/8

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 9 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/8

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 2/8 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán