Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; BC' và B'C là C''. Chứng minh rằng ba điểm A'', B'', C'' thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 1)

Trường hợp 1: $A^{''} C^{''}$ không đi qua X $(X = A C \cap A^{'} C^{'})$

Kí hiệu $Y = A^{''} C^{''} \cap A^{'} C^{'}; Z = A^{''} C^{''} \cap A C$ ; ta gọi:

$B^{''} = A^{''} C^{''} \cap A C^{'}$ . Ta cần chứng minh: $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng.

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ .

$A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C Z}{C X} = 1$ (1)

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A^{'}, A^{''}, B$ , ta có:

$\frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{B Z}{B X} = 1$ (2)

Tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $B^{'}, C, C^{''}$ , ta có:

$\frac{C Z}{C X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A, B^{''}, C^{'}$ , ta có;

$\frac{A Z}{A X} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} = 1$ (4)

Do $A, A^{''}, B^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{A Z}{A X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} = 1$ (5)

Do $B, C^{''}, C^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{B Z}{B X} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: $A^{''} C^{''}$ đi qua X

Bạn đọc tự xét trường hợp này.

Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 2)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có một cách trồng cây như sau:

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Câu 2

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1

Newton đưa ra cách giải như sau:

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 1)

Các hàng là: $A B C, A Y C^{'}, A X B^{'}, B X A^{'}, B Y B^{'}, B Z C^{'}, C Y A^{'}, C Z B^{'}, X Y Z, A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Rõ ràng đây là một cách giải thú vị. ngoài cách giải này, chúng ta có cách giải khác như sau

Cách 2

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 2)

Các hàng là: $A B C, A F E, A H D, C D E, C H K, C G F, B K E, B G D, F K D, E H G$ .

Bản chất của các cách trồng cây thẳng hàng này như thế nào? Mỗi cách trồng cây có một cơ sở toán học ẩn chứa đằng sau và các cách giải trên không phải ngoại lệ. Tuy nhiên có nhiều cách giải chỉ đưa ra được đáp án mà chưa tìm được cơ sở toán là bản chất của cách trồng cây vì đó là vấn đề rất phức tạp vượt quá khả năng của chúng tôi.

Câu 3