Chủ đề 7: Đối xứng trục và các bài toán thực tiễn

Trong thực tế đường ngắn nhất giữa hai điểm dân cư là đường thẳng nối hai điểm đó. Nhưng bài toán ra là đường ống nối hai điểm dân cư với một điểm xử lí nước trên bờ sông. Vậy đường ống phải là đường gấp khúc. Giả sử hai điểm dân cư ở hai phía khác nhau của bờ sông thì bài toán trở nên quá dễ, vì đường nối hai điểm có cắt dòng sông và điểm cắt đó chính là trạm xử lí nước. Bài toán của chúng ta là hai điểm dân cư cùng một phía bờ sông, nên chúng ta giả sử một điểm dân cư được chuyển sang bên kia bờ sông. Câu hỏi được đặt ra là điểm dân cư được chuyển sang bên kia sông ở vị trí nào là thích hợp nhất? Để đảm bảo tính chất của điểm dân cư ta chuyển sang phải có khoảng cách từ đó đến dòng sông là như nhau. Hay nói cách khác ta lấy điểm đối xứng của một điểm dân cư. Gọi A, B là hai điểm dân cư. Điểm A' đối xứng với B qua dòng sông. Đường nối A'B cắt bờ sông ở D. Điểm D chính là nơi đặt trạm xử lí nước.

Thật vậy với mọi điểm C khác D, ta có:

$CA+CB=C{A}^{\text{'}}+CB>A^{\text{'}}B=D{A}^{\text{'}}+DB=DA+DB$

Ta thấy điểm dân cư A và điểm lối thoát ra đường quốc lộ nằm cùng một phía đường ống dẫn đầu. Tương tự như ví dụ 1, ta lấy điểm B đối xứng với điểm A qua đường ống dẫn dầu.

Từ điểm B hạ đường vuông góc xuống đường quốc lộ, đường ta vừa hạ sẽ cắt đường ống dẫn dầu tại D, có chân đường vuông góc tại C. Điểm D chính là nơi ta xây trạm cung cấp xăng và đoạn đường $AD+DC$ là đoạn đường ngắn nhất ta phải mở.

Thật vậy, gọi E là điểm bất kì trên đường ống dẫn dầu, C' là điểm bất kì trên đường quốc lộ. Ta có:

$AE+E{C}^{\text{'}}=BE+E{C}^{\text{'}}\ge B{C}^{\text{'}}\ge BC=BD+DC=AD+DC$

(do BC là đoạn đường ngắn nhất từ B đến đường quốc lộ).

Gọi D₁ và E₁ lần lượt đối xứng với D và E qua AC và BC.

Gọi D₂ đối xứng với D₁ qua AB. Nối $D_2{E}_1$ và dựng đường gấp khúc $D{M}^{\text{'}}{K}^{\text{'}}{L}^{\text{'}}E$ (hình vẽ).

Ta thấy rằng mọi đường gấp khúc $DMKLE$ đều lớn hơn đường gấp khúc $D{M}^{\text{'}}{K}^{\text{'}}{L}^{\text{'}}E$.

Thật vậy

$D{M}^{\text{'}}+M^{\text{'}}{K}^{\text{'}}+K^{\text{'}}{L}^{\text{'}}+L^{\text{'}}E=D_1{M}^{\text{'}}+M^{\text{'}}{K}^{\text{'}}+K^{\text{'}}{L}^{\text{'}}+L^{\text{'}}E=D_2{K}^{\text{'}}+K^{\text{'}}{L}^{\text{'}}+L^{\text{'}}{E}_1=D_2{E}_1\le D_{2}K+KL$

$+L{E}_1=D_{1}K+KL+LE\le D_{1}M+MK+KL+LE=DM+MK+KL+LE$.

Hay kết quả ta có: $D{M}^{\text{'}}+M^{\text{'}}{K}^{\text{'}}+K^{\text{'}}{L}^{\text{'}}+L^{\text{'}}E\le DM+MK+KL+LE$ (đpcm).

Đặt hình tròn là hòn đảo trong góc nhọn Opq giới hạn bởi hai bờ sông. Bài toán đưa ra đi tìm tam giác MPQ sao cho M thuộc đường tròn, P thuộc Op và Q thuộc Oq sao cho chu vi tam giác MPQ nhỏ nhất.

Ta có định điểm bất kì M trên đường tròn và lấy M' và M'' là các điểm đối xứng với M qua Op và Oq. Tìm điểm P thuộc
Op và điểm Q thuộc Oq sao cho chu vi tam giác MPQ có chu vi nhỏ nhất. Từ ví dụ 1, ta có kết quả điểm P' và Q' là những giao điểm của M'M'' với Op và Oq tương ứng.

Trong trường hợp này chu vi tam giác MPQ trùng với M'M''. Nhưng M'M'' là cạnh đáy của tam giác cân $M^{\text{'}}{M}^{\text{'}\text{'}}O$ với một góc cố định ở đỉnh. Suy ra M'M'' sẽ nhỏ nhất khi M phải là giao điểm của đường tròn với đoạn thẳng OO₁, ở đây O₁ là tâm đường tròn.

Gọi $\left(O_2\right)$, B' lần lượt là hình tròn và điểm đối xứng với $\left(O_1\right)$, B qua d (d biểu trưng cho đường

 quốc lộ).

Nối $CA,CB,C{B}^{\text{'}}$.

Ta có $CA+CB=CA+C{B}^{\text{'}}$.

Do $CA+C{B}^{\text{'}}\ge A{B}^{\text{'}}\ge DE$ (D, E lần lượt là giao điểm của đoạn $O{O}_2$ với các đường tròn $\left(O\right),\left(O_2\right)$).

Hãy các điểm D và E là các điểm cần tìm. Từ đây suy ra các điểm A, B và C cần tìm. Đó là, điểm A trùng với điểm D, điểm C là giao điểm của DE với d và điểm B'' là điểm đối xứng với điểm E qua d.