Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ và thay trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và cùng một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường $C \to H \to K \to Q \to B \to P \to C$ ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa $P, H, Q, K$ và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định $P, Q, H, K$ có dạng như hình vẽ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật (ảnh 2)

Ta giải bài toán này như sau: Con đường $C \to H \to K \to Q \to B \to P \to C$ , sẽ ngắn nhất nếu ta tìm được $P, Q, H, K$ mà $S_{1} = P B + P C$ nhỏ nhất và $S_{2} = C H + H K + K Q + Q B$ nhỏ nhất.

Ta xác định các vị trí $P, Q, H, K$ như sau:

- Gọi C' là điểm đối xứng với C qua EF; gọi C'' là điểm đối xứng với C qua AD.

- Gọi B là giao điểm của BC' và EF; K là giao điểm của BC'' và EF; H là giao điểm của CK và EF.

Việc chứng minh điểm P dựng như trên để S₁ nhỏ nhất đã trình bày trong ví dụ 1. Việc dựng điểm K như trên, cũng như theo ví dụ 1 đã nêu thì mới đảm bảo cho $S = B K + K C$ nhỏ nhất.

Ta sẽ chứng minh các điểm $K, Q, H$ dựng như vậy thoả mãn $S_{2} = C H + H K + K Q + Q B$ nhỏ nhất.

Thật vậy: xét các điểm $K_{1}, Q_{1}, H_{1}$ bất kỳ lần lượt thuộc $A D, E F$ . Ta nhận thấy:

$\{\begin{matrix} C H_{1} + H_{1} K_{1} \geq C K_{1} \\ K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K_{1} B \end{matrix} \Rightarrow C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq C K_{1} + K_{1} B$

Theo cách dựng điểm K thì $C K_{1} + K_{1} B \geq K B + K C$

Từ đó suy ra: $C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K B + K C$

Dấu “=” trong $C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K B + K C$
xảy ra khi và chỉ khi các dấu “=” trong

$C H_{1} + H_{1} K_{1} \geq C K_{1}, K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K_{1} B, C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq C K_{1} + K_{1} B,$

$C K_{1} + K_{1} B \geq K B + K C$ đồng thời xảy ra. Như vậy $K, Q, H$ dựng như hình trên đảm bảo cho ta S₂ là nhỏ nhất.

Tóm lại: $S_{1} + S_{2} = C H + H K + K Q + Q B + B P + P C$ , với cách dựng $P, Q, H, K$ như trên thì $S_{1} + S_{2}$ nhỏ nhất. Do các điểm P, K là duy nhất, nên vị trí các điểm P, Q, H, K như trên là duy nhất. Để ý là mảnh đất ABCD là hình thang vuông, sân vận động AEFD là hình chữ nhật nên ta chứng minh được các vị trí P, Q, H, K xác định như trên là thoả mãn các yêu cầu thực tế của bài toán. (Cụ thể là: $Q, P, H$ nằm trên cạnh EF; K nằm trên cạnh AD của hình chữ nhật ABCD và P nằm giữa Q và H).

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đường quốc lộ và đường ống dân dầu cắt nhau một góc nhỏ hơn 45⁰, trong góc này có một bãi đỗ các ô tô của xí nghiệp vận tải. Xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe đến lấy xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Đường quốc lộ và đường ống dân dầu cắt nhau một góc nhỏ hơn 45 độ, trong góc này có một (ảnh 1)

Ta thấy điểm dân cư A và điểm lối thoát ra đường quốc lộ nằm cùng một phía đường ống dẫn đầu. Tương tự như ví dụ 1, ta lấy điểm B đối xứng với điểm A qua đường ống dẫn dầu.

Từ điểm B hạ đường vuông góc xuống đường quốc lộ, đường ta vừa hạ sẽ cắt đường ống dẫn dầu tại D, có chân đường vuông góc tại C. Điểm D chính là nơi ta xây trạm cung cấp xăng và đoạn đường $A D + D C$ là đoạn đường ngắn nhất ta phải mở.

Thật vậy, gọi E là điểm bất kì trên đường ống dẫn dầu, C' là điểm bất kì trên đường quốc lộ. Ta có:

$A E + E C^{'} = B E + E C^{'} \geq B C^{'} \geq B C = B D + D C = A D + D C$

(do BC là đoạn đường ngắn nhất từ B đến đường quốc lộ).

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất. (ảnh 1)

Xét những tam giác nội tiếp PMN có đỉnh P cố định trên đáy BC.

Lấy $P_{1}, P_{2}$ đối xứng của P qua AB và AC, $P_{1}, P_{2}$ cắt AB, AC tại N và M. PMN là tam giác cần dựng vì chu vi tam giác PMN bằng $P N + N M + M P = P_{1} P_{2} < P_{1} N^{'} + N^{'} M^{'} + M^{'} P_{2}$ bằng
chu vi tam giác PM'N.

Như vậy, chúng ta cần phải tìm vị trí P để $P_{1} P_{2}$ là bé nhất.

Do $P_{1} P_{2}$ là đáy tam giác cân $A P_{1} P_{2}$ có $\hat{P_{1} A P_{2}} = 2 \hat{B A C}$ không đổi. Suy ra $P_{1} P_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi cạnh bên $A P_{1} = A P_{2} = A P$ bé nhất khi $A P ⊥ B C$ . Hay AP là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự lập luận trên lấy điểm N thuộc AB cố định hay M thuộc AC cố định ta đi đến kết luận chu vi tam giác ABC bé nhất khi CN và BM là các đường cao của tam giác ABC.

Câu 3