Một ô tô C, một xe đạp B và điểm cố định A đang ở vị trí tạo thành tam giác vuông tại B. Ô tô và xe đạp khởi hành cùng một lúc đi về phía A theo các cạnh của tam giác ABC. Sau khi ô tô đi được 25km thì tam giác tạo bởi điểm A, ô tô C, xe đạp B là tam giác đều. Khi ô tô đến A thì xe đạp còn phải đi 12km nữa mới đến A. Tìm khoảng cách ban đầu của ô tô và xe đạp.

Hai địa điểm A, B cách nhau 120km trên một đường thẳng. Một xe mô tô khởi hành từ A chạy về B với vận tốc 80km/h. Cùng lúc đó, một xe đạp khởi hành từ B chạy trên đường thẳng vuông góc với AB với vận tốc 10km/h. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa 2 xe là ngắn nhất.

Hai chiếc thuyền rời điểm A trên bãi biển cùng một lúc và đi theo hai hướng vuông góc với nhau. Nửa giờ sau, hai thuyền cách nhau 15km. 15 phút theo đó thuyền thứ nhất cách xa A hơn thuyền thứ hai 4,5km. Hỏi vận tốc của mỗi thuyền.

Sau khi gặp nhau tại một điểm A trên mặt biển, một tàu đi về phía Nam, một tàu đi về phía Đông với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu kia 6km/h. Hai giờ sau khi gặp nhau, hai tàu cách nhau 60km. Tính vận tốc của mỗi tàu.

Người ta phải đắp 100m nền của đường ray xe lửa có thiết diện ngang là một hình thang cân, đáy dưới dài 5m, đáy trên không nhỏ hơn 3m, độ dốc hai bên bằng 45⁰. Tính chiều cao của nền sao cho thể tích đào đắp không nhỏ hơn $400m^3$ và không lớn hơn $500m^3$ đất.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Độ dài AB=12cm, độ dài HC=12,8cm. Tính các cạnh của tam giác ABC.