Chứng minh rằng phương trình x3+2x=4+33−2x có đúng một nghiệm.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,864

Chứng minh rằng phương trình $x^{3} + 2 x = 4 + 3 \sqrt{3 - 2 x}$ có đúng một nghiệm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 59 Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x \leq \frac{3}{2}$

Ta có $x^{3} + 2 x = 4 + 3 \sqrt{3 - 2 x} \Leftrightarrow x^{3} + 2 x - 3 \sqrt{3 - 2 x} - 4 = 0$

Xét hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x - 3 \sqrt{3 - 2 x} - 4$ liên tục trên $(- \infty; \frac{3}{2}]$ và $f (0) = - 4 - 3 \sqrt{3} < 0, f (\frac{3}{2}) = \frac{19}{8} > 0 \Rightarrow f (0) . f (\frac{3}{2}) < 0$

Do đó phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình f(x)= 0 có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$

Khi đó $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 0$

$\Leftrightarrow (x_{1}^{3} - x_{2}^{3}) + 2 (x_{1} - x_{2}) - 3 (\sqrt{3 - 2 x_{1}} - \sqrt{3 - 2 x_{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) \underset{B}{\underset{⏟}{(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + 2 + \frac{6}{\sqrt{3 - 2 x_{1}} + \sqrt{3 - 2 x_{2}}})}} = 0$

$\Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$ (vì $B = {(x_{1} + \frac{x_{2}}{2})}^{2} + \frac{3 x_{2}^{2}}{4} + 4 + \frac{6}{\sqrt{3 - 2 x_{1}} + \sqrt{3 - 2 x_{2}}} > 0$ )

Vậy phương trình có đúng một nghiệm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $4 a + c > 8 + 2 b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Xét phương trình: $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0 (1)$

Đặt: $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$

Từ giả thiết $\{\begin{cases} 4 a + c > 8 + 2 b \Rightarrow - 8 + 4 a - 2 b + c > 0 \\ a + b + c < - 1 \Rightarrow 1 a + b + c < 0 \Rightarrow f (1) < 0 \end{cases}$

Do đó $f (- 2) . f (1) < 0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $(- 2; 1)$

Ta nhận thấy:

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ mà $f (- 2) > 0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $α \in (- \infty; - 2)$

Tương tự: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ mà $f (1) < 0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $β \in (1; + \infty)$

Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.

Câu 2

Tìm các giới hạn sau:

b, $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) .$

Xem đáp án

Lời giải

$\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1})$

$= \lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} - \lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} .$

Mà

$\lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} = \lim \frac{3 {(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{{3.2}^{2}}{1} = 12.$

$\lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} = \frac{{(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2^{2}}{1} = 4.$

Nên

$\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) = 12 - 4 = 8.$

Câu 3