Tính giới hạn sau: $\lim \frac{n^2+4n}{n^2+4n+5}.$

Xét phương trình: $x^3+a{x}^2+bx+c=0\left(1\right)$

Đặt: $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$

Từ giả thiết $\left\{\begin{array}{l}4a+c>8+2b\Rightarrow -8+4a-2b+c>0\\ a+b+c<-1\Rightarrow 1a+b+c<0\Rightarrow f\left(1\right)<0\end{array}\right.$

Do đó $f\left(-2\right).f\left(1\right)<0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left(-2;1\right)$

Ta nhận thấy:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ mà $f\left(-2\right)>0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $\alpha \in \left(-\infty ;-2\right)$

Tương tự: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ mà $f\left(1\right)<0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $\beta \in \left(1;+\infty \right)$

Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.

Mà 

Ÿ  $\lim \frac{3{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+2n}=\lim \frac{3{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{1+\frac{2}{n}}=\frac{{3.2}^2}{1}=12.$

Ÿ  $\lim \frac{{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+3n-1}=\frac{{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{2^2}{1}=4.$

Nên

Ÿ  $\lim {\left(2n+1\right)}^2\left(\frac{3}{n^2+2n}-\frac{1}{n^2+3n-1}\right)=12-4=8.$