Khẳng định đúng khi nói về hàm số $y=f\left(x\right)=\tan x+\cot x$  là 

Điều kiện $\sin x\ne 0$ .

Ta có $2\sin x+\cot x=2\sin 2x+1\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+\cos x=4{\sin }^{2}x\cos x+\sin x$

$\iff \sin x\left(2\sin x-1\right)=\cos x\left(4{\sin }^{2}x-1\right)$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[\cos x\left(2\sin x+1\right)-\sin x\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ 2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0\end{array}\right.$

Trường hợp 1:  $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2:  $2\sin x\cos x-\left(\sin x-\cos x\right)=0$ (1)

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

Phương trình (1) trở thành $\left(1-t^2\right)-t=0\iff t^2+t-1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$  nên $t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sin x-\cos x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right)+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;$ $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;$