Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\ 2\text{ khi }x=1\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Lờigiải

Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\ 2\text{ khi }x=1\end{array}\right.$ có tập xác định là R.

+ Với mọi $x\in \left(-\infty ;1\right)$ thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Ta có:  $\forall x_0\in \left(-\infty ;1\right)$, $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{x_0^2-1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Nên hàm số f liên tục trên $\left(-\infty ;1\right)$ (1)

+ Với mọi $x\in \left(1;+\infty \right)$ thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Ta có:  $\forall x_0\in \left(1;+\infty \right)$, $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{x_0^2-1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Nên hàm số f liên tục trên $\left(1;+\infty \right)$ (2)

+ Tại x=1:

Ta có $f\left(1\right)=2$ và $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)$=2

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Tức hàm số f liên tục tại x=1 (3)     

Từ (1), (2) và (3). Suy ra, hàm số f liên tục trên R.

Kết luận: Hàm số f liên tục trên R.