Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Người ta dựng tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh bằng đường cao của tam giác ABC; dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$ có cạnh bằng đường cao của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều ABC, $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$,… bằng $24\sqrt{3}$ thì a bằng:

Lời giải

Chọn C

Ta có độ dài đường cao của tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a là $2a\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ nên tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh bằng $a\sqrt{3}$. Do đó hai tam giác ABC và $A_1{B}_1{C}_1$ dồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là .

Suy ra $\frac{S_{A_1{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=k^2=\frac{3}{4}\Rightarrow S_{A_1{B}_1{C}_1}=\frac{3}{4}{S}_{ABC}$.

Tương tự ta có $S_{A_2{B}_2{C}_2}=\frac{3}{4}{S}_{A_1{B}_1{C}_1}$, $S_{A_3{B}_3{C}_3}=\frac{3}{4}{S}_{A_2{B}_2{C}_2}$,…

Nên dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\frac{3}{4}$ và số hạng đầu $S_{ABC}={\left(2a\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.

Suy ra tổng diện tích của tất cả các tam giác đều ABC, $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$,… bằng

$S=\frac{S_{ABC}}{1-q}=\frac{a^2\sqrt{3}}{1-\frac{3}{4}}=4a^2\sqrt{3}$.

Ta có $4a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\iff a=\sqrt{6}$.