Cho tổng $:S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\dots +\frac{1}{60}$ . Chứng minh: $\frac{3}{5}<S<\frac{4}{5}$

a) Từ $\frac{1}{101}$  tới $\frac{1}{200}$  có tất cả 100 chữ số.

Mà $1=\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}\left(\right.$  có 100 chữ số $\left.\frac{1}{100}\right)$

Vì  $\frac{1}{101}<\frac{1}{100};\frac{1}{102}<\frac{1}{100};\dots ;\frac{1}{200}<\frac{1}{100}$ Nên:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}$

$\to \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<1$

Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)

Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)

Bước 3: So sánh từng số của tổng $\left(\frac{1}{101};\frac{1}{102};\mathrm{..}\right)$  với các chữ số vừa tách $\left(\frac{1}{100}\right)$

Bước 4: Kết luận

Ta thấy: $\frac{1}{41}$  đến $\frac{1}{80}$  có 40 phân số.

Vậy $\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{78}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}$

 $=\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}\right)$  (1)

Vì $\frac{1}{41}>\frac{1}{42}\cdot >\dots .>\frac{1}{60}$  và  $\frac{1}{61}>\frac{1}{62}>\dots >\frac{1}{80}$    (2)

Ta có: 

    $=\frac{20}{60}+\frac{20}{80}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}$ (3)

Từ (1), (2), (3) Suy ra:

$\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \dots +\frac{1}{78}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}>\frac{7}{12}$