Cho tổng $:S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\dots +\frac{1}{60}$ . Chứng minh: $\frac{3}{5}<S<\frac{4}{5}$

a) Từ $\frac{1}{101}$  tới $\frac{1}{200}$  có tất cả 100 chữ số.

Mà $1=\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}\left(\right.$  có 100 chữ số $\left.\frac{1}{100}\right)$

Vì  $\frac{1}{101}<\frac{1}{100};\frac{1}{102}<\frac{1}{100};\dots ;\frac{1}{200}<\frac{1}{100}$ Nên:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}$

$\to \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<1$

Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)

Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)

Bước 3: So sánh từng số của tổng $\left(\frac{1}{101};\frac{1}{102};\mathrm{..}\right)$  với các chữ số vừa tách $\left(\frac{1}{100}\right)$

Bước 4: Kết luận

Phần này khó hơn 2 phần a và b một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp:

Chúng ta có $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{150}>\frac{1}{3}$  (1)

Lại có: $\frac{1}{4}=\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\cdots +\frac{1}{200}\left(50\right.$  chữ số $\left.\frac{1}{200}\right)$

Mà: $\frac{1}{151}>\frac{1}{200};\frac{1}{152}>\frac{1}{200};\dots ;\frac{1}{199}>\frac{1}{200}$  Nên:

$\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{1}{4}$

Cộng (1) và (2) chúng ta được:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3+4}{12}=\frac{7}{12}$

Kết luận: $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{7}{12}$