Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số có đáp án

37 người thi tuần này 4.6 14.7 K lượt thi 11 câu hỏi 45 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

192 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2024-2025 THCS Nguyễn Công Trứ (Hà Nội) có đáp án

665 lượt thi 14 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2024-2025 THCS Vạn Phúc (Hà Nội) có đáp án

549 lượt thi 13 câu hỏi

54 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2024-2025 THCS Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án

527 lượt thi 13 câu hỏi

52 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2024-2025 THCS Thanh Am (Hà Nội) có đáp án

525 lượt thi 14 câu hỏi

99 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2024-2025 THCS Thạch Bàn (Hà Nội) có đáp án

572 lượt thi 10 câu hỏi

48 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2025-2026 THCS Lê Ngọc Hân (Hà Nội) có đáp án

323 lượt thi 13 câu hỏi

49 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2025-2026 THCS Bát Tràng (Hà Nội) có đáp án

324 lượt thi 18 câu hỏi

53 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 6 năm 2025-2026 THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

328 lượt thi 14 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/11

So sánh:
a) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200}$ với 1 ;

Xem đáp án

Lời giải

a) Từ $\frac{1}{101}$ tới $\frac{1}{200}$ có tất cả 100 chữ số.

Mà $1 = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \dots + \frac{1}{100} ($ có 100 chữ số $\frac{1}{100})$

Vì $\frac{1}{101} < \frac{1}{100}; \frac{1}{102} < \frac{1}{100}; \dots; \frac{1}{200} < \frac{1}{100}$ Nên:

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} < \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \dots + \frac{1}{100}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} < 1$

Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)

Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)

Bước 3: So sánh từng số của tổng $(\frac{1}{101}; \frac{1}{102}; ..)$ với các chữ số vừa tách $(\frac{1}{100})$

Bước 4: Kết luận

Câu 2/11

b) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{149} + \frac{1}{150} v ớ i \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Lời giải

\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{149} + \frac{1}{150} v ớ i \frac{1}{3}

Bước 1: Từ $\frac{1}{101}$ tới $\frac{1}{150}$ có tất cả 50 chữ số.

Bước 2: Tách $\frac{1}{3} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$ (có tất cả 50 chữ số $\frac{1}{150}$ )

Bước 3: Vì $\frac{1}{101} > \frac{1}{150}; \frac{1}{102} > \frac{1}{150} \dots; \frac{1}{149} > 150$

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{101} > \frac{1}{150}; \frac{1}{102} > \frac{1}{150} \dots; \frac{1}{149} > 150$

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$

Bước 4: Kết luận: $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{3}$

Câu 3/11

c) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} v ớ i \frac{7}{12}$

Xem đáp án

Lời giải

c) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} v ớ i \frac{7}{12}$

Phần này khó hơn 2 phần a và b một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp:

Chúng ta có $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{3}$ (1)

Lại có: $\frac{1}{4} = \frac{1}{200} + \frac{1}{200} + \dots + \frac{1}{200} (50$ chữ số $\frac{1}{200})$

Mà: $\frac{1}{151} > \frac{1}{200}; \frac{1}{152} > \frac{1}{200}; \dots; \frac{1}{199} > \frac{1}{200}$ Nên:

$\frac{1}{151} + \frac{1}{152} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{1}{4}$

Cộng (1) và (2) chúng ta được:

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$

Kết luận: $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{7}{12}$

Câu 4/11

Cho tổng $: S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{60}$ . Chứng minh: $\frac{3}{5} < S < \frac{4}{5}$

Xem đáp án

Lời giải

$S = (\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \dots + \frac{1}{50}) + (\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \dots + \frac{1}{60})$

$\Rightarrow S < (\frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{30}) + (\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{50} + \frac{1}{50} + \dots + \frac{1}{50})$

hay $S < \frac{10}{30} + \frac{10}{40} + \frac{10}{50}$

suy ra $S < \frac{47}{60} < \frac{48}{60}$

Vậy $S < \frac{4}{5}$ (1).

Mặt khác: $S > (\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{50} + \frac{1}{50} + \dots + \frac{1}{50}) + (\frac{1}{60} + \frac{1}{60} + \dots + \frac{1}{60})$

$\Rightarrow S > \frac{10}{40} + \frac{10}{50} + \frac{10}{60}$

$S > \frac{37}{60} > \frac{36}{60}$

$S > \frac{3}{5} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Câu 5/11

So sánh $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000}$ với $B = \frac{1}{100}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $C = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} \dots \cdot \frac{10000}{10001}$

So sánh từng số của A với của C ta thấy: $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots$ và $\frac{9999}{10000} < \frac{10000}{10001}$

Vậy A < C

$\to A \cdot A < A . C = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots \cdot \frac{10000}{10001})$

$\to A^{2} < (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000} \cdot \frac{10000}{10001})$ (Rút gọn tử và mẫu lần lượt).

$\to A^{2} < \frac{1}{10001}$ mà $\frac{1}{10001} < \frac{1}{10000}$ (mẫu càng lớn phân số càng nhỏ)

$\to A^{2} < \frac{1}{10000} = {(\frac{1}{100})}^{2}$

$\to A < \frac{1}{100} = B$

Kết luận: A< B

Câu 6/11

Chứng minh rằng: $\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta thấy: $\frac{1}{41}$ đến $\frac{1}{80}$ có 40 phân số.

Vậy $\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80}$

$= (\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{59} + \frac{1}{60}) + (\frac{1}{61} + \frac{1}{62} + \frac{1}{63} + \dots .. + \frac{1}{79} + \frac{1}{80})$ (1)

Vì $\frac{1}{41} > \frac{1}{42} \cdot > \dots . > \frac{1}{60}$ và $\frac{1}{61} > \frac{1}{62} > \dots > \frac{1}{80}$ (2)

Ta có:

$= \frac{20}{60} + \frac{20}{80} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ (3)

Từ (1), (2), (3) Suy ra:

$\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots \dots + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}$

Câu 7/11