Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6 khi chia cho 25 thì dư 24.

Gọi số sách cần tìm là x quyển, ( $x\in \mathbb{N},200\le x\le 500$)

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên $x⋮10$ , $x⋮12$ , $x⋮18$  suy ra .

BCNN $\left(10,12,18\right)=360$

BC$\left(10,12,18\right)=\left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$

Suy ra $x\in \left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$ , mà $200\le x\le 500$  nên $x=360$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyển.

Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x học sinh, ($x\in \mathbb{N},300\le x\le 400$ )

Vì khi xếp thành 5, 8, 12 thì thiếu 1 em nên $x=5k-1$  ,$x=8t-1$ , $x=12m-1$  suy ra x là 1 bôi chung của 5, 8, 12 trừ 1.

BCNN$\left(5,8,12\right)=120$

BC$\left(5,8,12\right)=\left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$

Suy ra $x+1\in \left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$ , mà $300\le x\le 400\Rightarrow 301\le x+1\le 401$  nên $x+1=360\Rightarrow x=359$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.