Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

Tam giác OPM là tam giác cân tại O (vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$  (1) và OM = OP.

Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra  $\widehat{RPM}=\widehat{RMP}$ (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có: $\widehat{OPM}-\widehat{RPM}=\widehat{OMP}-\widehat{RMP}$ .

Hay $\widehat{OPR}=\widehat{OMR}$  (*)

Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{OPN}=\widehat{ONP}$  (3) và ON = OP.

Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{SPN}=\widehat{SNP}$  (4)

Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có: $\widehat{OPN}-\widehat{SPN}=\widehat{ONP}-\widehat{SNP}$

Hay $\widehat{OPS}=\widehat{ONS}$   (**)

Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Do đó: $\widehat{OMR}=\widehat{ONS}$  (***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $\widehat{OPR}=\widehat{OPS}$ .

Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).