Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.

Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.

Xét hai tam giác AHJ và tam giác BCJ có:

AH = BC (gt)

$\widehat{AJH}=\widehat{BJC}\left(=90°\right)$

$\widehat{JAH}=\widehat{JBC}$ (hai góc cùng phụ với $\widehat{JBC}$ )

Do đó ∆AHJ = ∆BCJ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AJ = BJ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác JAB vuông tại J có AJ = BJ (cmt) nên JAB là tam giác vuông cân tại J.

Vậy $\widehat{BAJ}=\widehat{BAC}=45°$ (đpcm).

Tam giác OPM là tam giác cân tại O (vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$  (1) và OM = OP.

Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra  $\widehat{RPM}=\widehat{RMP}$ (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có: $\widehat{OPM}-\widehat{RPM}=\widehat{OMP}-\widehat{RMP}$ .

Hay $\widehat{OPR}=\widehat{OMR}$  (*)

Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{OPN}=\widehat{ONP}$  (3) và ON = OP.

Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{SPN}=\widehat{SNP}$  (4)

Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có: $\widehat{OPN}-\widehat{SPN}=\widehat{ONP}-\widehat{SNP}$

Hay $\widehat{OPS}=\widehat{ONS}$   (**)

Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Do đó: $\widehat{OMR}=\widehat{ONS}$  (***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $\widehat{OPR}=\widehat{OPS}$ .

Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).