a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng 1x+1y≥4x+y

a) Ta có (x-y)2≥0⇔x2−2xy+y2≥0⇔x2+y2≥2xy⇔x2+2xy+y2≥4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x+yxy≥4x+y⇔1x+1y≥4x+y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Câu hỏi:

19/08/2025 3,308

a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 8: Ôn tập chương 4 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\begin{array}{l} a) T a c {ó (x-y)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \\ \Leftrightarrow \frac{x + y}{x y} \geq \frac{4}{x + y} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b > 0

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{2}{b} \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{c} \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} \geq \frac{2}{a}$

Cộng tùng vế các bất đẳng trên ta được $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Câu 2

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Lúc từ B về A người đó đi với vận tốc bằng $\frac{6}{5}$ vận tốc lúc đi. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0 )

Vận tốc từ B dến A : 42 km/h

Thời gian từ A đến B là : $\frac{x}{35}$ (h)

Thời gian từ B đến A là : $\frac{x}{42}$ (h)

Theo đề bài ta có phương trình : $\frac{x}{35} - \frac{x}{42} = \frac{1}{2}$

Giải phương trình được: x = 105 (TM)

Vậy quãng đường AB là 105 km

Câu 3

c. 2 + $\frac{3 (x + 1)}{8} < 3 - \frac{x - 1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) (2x - 1)(x + 2) = (3x - 2)(2x - 1)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b) Tính giá trị của P, biết $|x| = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Lúc từ B về A người đó đi với vận tốc bằng $\frac{6}{5}$ vận tốc lúc đi. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

c. 2 + $\frac{3 (x + 1)}{8} < 3 - \frac{x - 1}{4}$

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) (2x - 1)(x + 2) = (3x - 2)(2x - 1)

b) Tính giá trị của P, biết $|x| = \frac{1}{2}$