Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt các cạnh AC ở E. Chứng minh rằng $DE\parallel BC$.

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE vào tam giác ABC, ta được:

            $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AB=4t\\ BC=6t\end{array}\right.$ (với $t>0$);

            $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AC=5t\\ BC=6t\end{array}\right.$.

Từ giả thiết chu vi của tam giác ABC bằng 45cm, ta có:

            $45=AB+BC+CA=4t+6t+5t=15t\iff t=3$.

Ta có $\frac{S_{ADM}}{S_{ABC}}=\frac{DM}{BC}$ hay $S_{ADM}=\frac{DM}{BC}.S$ 

(vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC, với $S=S_{ABC}$).

Ta còn phải tính tỉ số $DM:BC$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC,
ta được:

            $\frac{DB}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{m}{n}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}DB=mt\\ DC=nt\end{array}\right.$ (với $t>0$).

Do đó $BC=DB+DC=(m+n).t$, nên: $BM=\frac{1}{2}BC=\frac{(m+n)t}{2}$.

$\Rightarrow DM=BM-BD=\frac{(m+n)t-mt}{2}=\frac{(n-m)t}{2}$.

Suy ra tỉ số $DM:BC=\frac{(n-m)t}{2}:(m+n)t=\frac{n-m}{2(m+n)}$.

Vậy $S_{ADM}=\frac{n-m}{2(m+n)}.S$.