Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết $\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3};\frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi tam giác bằng 45cm.

Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt $BM=MC=a$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác MD và ME vào hai tam giác
AMB và AMC, ta được:

            $\left\{\begin{array}{c}\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}=\frac{AM}{a}\\ \frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}=\frac{AM}{a}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.

Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên $DE\parallel BC$ (theo định lí Ta-lét đảo).

Ta có $\frac{S_{ADM}}{S_{ABC}}=\frac{DM}{BC}$ hay $S_{ADM}=\frac{DM}{BC}.S$ 

(vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC, với $S=S_{ABC}$).

Ta còn phải tính tỉ số $DM:BC$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC,
ta được:

            $\frac{DB}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{m}{n}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}DB=mt\\ DC=nt\end{array}\right.$ (với $t>0$).

Do đó $BC=DB+DC=(m+n).t$, nên: $BM=\frac{1}{2}BC=\frac{(m+n)t}{2}$.

$\Rightarrow DM=BM-BD=\frac{(m+n)t-mt}{2}=\frac{(n-m)t}{2}$.

Suy ra tỉ số $DM:BC=\frac{(n-m)t}{2}:(m+n)t=\frac{n-m}{2(m+n)}$.

Vậy $S_{ADM}=\frac{n-m}{2(m+n)}.S$.