Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng ${60}^o$. Biết chiều cao của hình thang cân này là $a\sqrt{3}.$ Tính chu vi của hình thang cân.

Ta đặt $AD=AB=BC=x$.

Vẽ $AM$ // $BC$ $(M\in CD)$.

Mà $AB$ // $CD$ (do $ABCD$ là hình thang) nên tứ giác $ABCM$ là hình bình hành.

Suy ra $BC=AM=x,\ MC=AB=x$.

$\triangle ADM$ có $AM=AD(=x)$ nên $\triangle ADM$ cân tại $A$.

Mà $\widehat{D}=60^\circ$ nên tam giác $\triangle ADM$ đều. Suy ra $DM=AD=x$.

Vẽ $AH\perp CD$ tại $H$ thì $AH$ là đường cao của hình thang cân $ABCD$, cũng là đường cao của tam giác đều $ADM$.

Vì $\triangle ADM$ đều nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Suy ra
\[
HM=\frac{DM}{2}=\frac{x}{2}.
\]

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $AHM$ vuông tại $H$ ta có:
\[AH^2+HM^2=AM^2\] nên \[AH^2=AM^2-HM^2=x^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{3x^2}{4}\] nên \[AH=\frac{x\sqrt{3}}{2}.\]

Vì $AH=a\sqrt{3}$ nên $\frac{x\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a$.

Do đó chu vi của hình thang cân là $2a\cdot5=10a$.