Cho tam giác ABC nhọn AH là đường cao. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC}=\widehat{FDB}=90°$ . Chứng minh rằng EF//BC.

Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên  $\frac{MB}{ND}=\frac{MA}{NC}$

Mà $AB//DC$  nên AC, MN, BD đồng quy hay O thuộc MN (1 ).

Lại có:  $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}=\frac{AB}{CD}$

mà $AB//DC$  nên AD, MN, BC đồng quy hay I thuộc MN (2).

Từ (1 ) và (2) suy ra I, M, O, N thẳng hàng.

Nhận xét:

- Đây là bài toán đơn giản tuy nhiên được sử dụng rất nhiều với tên gọi Bổ đề hình thang: "Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy"

- Ngược lại: Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là các điểm thẳng hàng".

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{AK}{AB}=\frac{MC}{BC}$

Qua F kẻ $FI//AB$ ;  $I\in BC\Rightarrow \frac{CF}{CA}=\frac{CI}{CB}=\frac{EM}{BC}$

 $\Rightarrow \frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{MC}{BC}+\frac{BE}{BC}+\frac{EM}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Vậy $\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=1$ .