Dạng 4. Bài luyện tập có đáp án

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{AK}{AB}=\frac{MC}{BC}$

Qua F kẻ $FI//AB$ ;  $I\in BC\Rightarrow \frac{CF}{CA}=\frac{CI}{CB}=\frac{EM}{BC}$

 $\Rightarrow \frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{MC}{BC}+\frac{BE}{BC}+\frac{EM}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Vậy $\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=1$ .

Vì $FH//BC$  nên  $\frac{FH}{BC}=\frac{AH}{AB}$

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{KM}{AC}=\frac{BK}{AB}$

Suy ra  $\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{AC}+\frac{DE}{AB}=\frac{AH}{AB}+\frac{BK}{AB}+\frac{AK+BH}{AB}=\frac{AH+HB}{AB}+\frac{AK+KB}{AB}=2$

Vậy $\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=2$ .

Kẻ  $AE\perp BD$

Vì $OK//HC$  nên  $\frac{AO}{AC}=\frac{OK}{HC}\Rightarrow AO.HC=OK.AC$

Lại có $AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH$

Mà

 $$\begin{gathered} BD.AE=2S_{ABD},OA.HC=OK.AC,AO\ge AE \\ \Rightarrow AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH=BD.AE.CH\le BD.AO.CH=BD.OK.AC \end{gathered}$$

Vậy $AD.BI.CH\le BD.OK.AC$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$  (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \Delta ADE$ đều

Đặt  $AD=DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)  $\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{4-x}{4}\Rightarrow 4x=2\left(4-x\right)\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy $AD=\frac{4}{3}cm$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}$  (hai góc so le trong) $\Rightarrow \Delta ADE$  cân tại E

Đặt  $DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)

 $\Rightarrow \frac{x}{AB}=\frac{AC-x}{AC}=1-\frac{x}{AC}\Rightarrow \frac{x}{AB}+\frac{x}{AC}=1\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{x}$

Theo đề bài có: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\Rightarrow AD=x\Rightarrow \Delta ADE$  đều  $\Rightarrow \widehat{DAE}=60°\Rightarrow \widehat{BAC}=120°$

Vậy $\widehat{BAC}=120°$ .