Dạng 4. Bài luyện tập có đáp án

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{AK}{AB}=\frac{MC}{BC}$

Qua F kẻ $FI//AB$ ;  $I\in BC\Rightarrow \frac{CF}{CA}=\frac{CI}{CB}=\frac{EM}{BC}$

 $\Rightarrow \frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{MC}{BC}+\frac{BE}{BC}+\frac{EM}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Vậy $\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=1$ .

Vì $FH//BC$  nên  $\frac{FH}{BC}=\frac{AH}{AB}$

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{KM}{AC}=\frac{BK}{AB}$

Suy ra  $\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{AC}+\frac{DE}{AB}=\frac{AH}{AB}+\frac{BK}{AB}+\frac{AK+BH}{AB}=\frac{AH+HB}{AB}+\frac{AK+KB}{AB}=2$

Vậy $\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=2$ .

Kẻ  $AE\perp BD$

Vì $OK//HC$  nên  $\frac{AO}{AC}=\frac{OK}{HC}\Rightarrow AO.HC=OK.AC$

Lại có $AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH$

Mà

 $$\begin{gathered} BD.AE=2S_{ABD},OA.HC=OK.AC,AO\ge AE \\ \Rightarrow AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH=BD.AE.CH\le BD.AO.CH=BD.OK.AC \end{gathered}$$

Vậy $AD.BI.CH\le BD.OK.AC$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$  (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \Delta ADE$ đều

Đặt  $AD=DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)  $\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{4-x}{4}\Rightarrow 4x=2\left(4-x\right)\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy $AD=\frac{4}{3}cm$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}$  (hai góc so le trong) $\Rightarrow \Delta ADE$  cân tại E

Đặt  $DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)

 $\Rightarrow \frac{x}{AB}=\frac{AC-x}{AC}=1-\frac{x}{AC}\Rightarrow \frac{x}{AB}+\frac{x}{AC}=1\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{x}$

Theo đề bài có: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\Rightarrow AD=x\Rightarrow \Delta ADE$  đều  $\Rightarrow \widehat{DAE}=60°\Rightarrow \widehat{BAC}=120°$

Vậy $\widehat{BAC}=120°$ .

Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho  $AF=BE$

Gọi giao điểm của CF và EA, ED lần lượt là H, O; giao điểm của EA và DF là K.

Xét $\Delta ABE$  và $\Delta DAF$  có: $\left\{\begin{array}{l}AB=AD\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{ABE}=\widehat{ADF}=90°\\ AF=BE\left(\text{theo caùch döïng}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta DAF\left(c.g.c\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{AFD}=\widehat{BEA}\left(1\right)\\ AE=DF\left(2\right)\end{array}\right.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}\widehat{FAK}=\widehat{BAE}\\ \widehat{BAE}+\widehat{BEA}=90°\end{array}\right.\left(3\right)$

Từ (1) và (3) ta có $\widehat{AFD}+\widehat{FAK}=90°\Rightarrow \widehat{FKA}=90°\Rightarrow EA\perp DF$

Lại có  $\widehat{ADF}=\widehat{BAE}\Rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{ADF}+90°=\widehat{BAE}+90°=\widehat{DAE}$(4)

Xét $\Delta CDF$  và $\Delta DAE$  có: $\left\{\begin{array}{l}\text{CD=DA }\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{CDF}=\widehat{DAE}\text{ (theo (4))}\\ AE=DF\text{ (theo (2))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta CDF=\Delta DAE\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{ADE}$

mà $\widehat{CDO}+\widehat{ADE}=90°\Rightarrow \widehat{CDO}+\widehat{DCF}=90°$

$\Rightarrow ED\perp CF\Rightarrow I$ là trực tâm tam giác CEF; H là trực tâm tam giác DEF

$\Rightarrow CI\perp EF,DH\perp EF\Rightarrow DH//CI\Rightarrow \frac{EJ}{EH}=\frac{EI}{ED}$ (định lý Ta-lét) (*)

Vì $IB//DC$  nên $\frac{EI}{ED}=\frac{EB}{EC}$  (**)

Từ (*) và (**) có $\frac{EJ}{EH}=\frac{EB}{EC}\Rightarrow BJ//CH$  (định lý Ta-lét đảo) mà  $CH\perp ED$

(theo trên), suy ra $BJ\perp ED$ .

Vây BJ vuông góc với DE.