Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ . Tính số đo góc BAC.

Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên  $\frac{MB}{ND}=\frac{MA}{NC}$

Mà $AB//DC$  nên AC, MN, BD đồng quy hay O thuộc MN (1 ).

Lại có:  $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}=\frac{AB}{CD}$

mà $AB//DC$  nên AD, MN, BC đồng quy hay I thuộc MN (2).

Từ (1 ) và (2) suy ra I, M, O, N thẳng hàng.

Nhận xét:

- Đây là bài toán đơn giản tuy nhiên được sử dụng rất nhiều với tên gọi Bổ đề hình thang: "Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy"

- Ngược lại: Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là các điểm thẳng hàng".

Kẻ    $BO\perp CD;CM\perp DB\left(O\in CD;M\in DB\right)$

Gọi giao điểm của BO và CM là I.

Theo cách dựng suy ra D là trực tâm của tam giác BIC, suy ra $DI\perp BC\Rightarrow I,D,A$  thẳng hàng

$\Rightarrow DE//BI\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{AB}{AE}$ (định lí Ta-lét).

Mặt khác $IC//FD$  (cùng vuông góc với BD)

nên $\frac{AI}{AD}=\frac{AC}{AF}\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\Rightarrow EF//BC$  (định lí Ta-lét đảo).

Vậy  $EF//BC$.