$\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - ab + \frac{{{b^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{2} - bc + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{2} - ca + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)$≥ 0

${\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }} - \frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }} - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$ ≥ 0 luôn đúng

Câu 2/5

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án

Lời giải

Nhận xét rằng: $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

Do đó: $V T = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ , đpcm.

Câu 3/5

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x + y}{2} . \frac{x^{3} + y^{3}}{2} \leq \frac{x^{4} + y^{4}}{2}$ (*)

Thật vậy:

$(*) \Leftrightarrow (x + y) (x^{3} + y^{3}) \leq 2 (x^{4} + y^{4}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \leq x^{4} + y^{4}$

${(x - y)}^{2} [{(\frac{x + y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}] \geq 0$ , luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} = [\frac{a + b}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2}] . \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$\leq \frac{a^{4} + b^{4}}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$ , đpcm.

Câu 4/5

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:

$a (1 - b) . b (1 - c) . c (1 - a) > \frac{1}{64} \Leftrightarrow a (1 - a) . b (1 - b) . c (1 - c) > \frac{1}{64}$ (*)

Ta có nhận xét:

$a (1 - a) = a - a^{2} = \frac{1}{4} - {(a + \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$

Chứng minh tương tự, ta có:

$b (1 - b) \leq \frac{1}{4}, c (1 - c) \leq \frac{1}{4}$

Do đó:

$a (1 - a) . b (1 - b) . c (1 - c) \leq \frac{1}{64}$ , tức là (*) sai.

Câu 5/5

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Ta có nhận xét:

$a^{3} = a^{2} . a = (b^{2} + c^{2}) . a = b^{2} . a + c^{2} . a >_{a > c}^{a > b} b^{2} . b + c^{2} . c = b^{3} + c^{3}$ , đpcm.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$