Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$$\begin{gathered} a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)\ge 0 \\ \iff \left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff {\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2\ge 0$, luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$$\begin{gathered} 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca) \\ \iff (a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff {(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\ge 0$, luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\left\{\begin{array}{l}{(a-b)}^2\ge 0\\ {(b-c)}^2\ge 0\\ {(c-a)}^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-2ab\ge 0\\ b^2+c^2-2bc\ge 0\\ c^2+a^2-2ca\ge 0\end{array}\right.$                              (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2(ab+bc+ca)\ge 0\iff a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$, đpcm.

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x+y}{2}.\frac{x^3+y^3}{2}\le \frac{x^4+y^4}{2}$                                         (*)

Thật vậy:

$(*)\iff (x+y)(x^3+y^3)\le 2(x^4+y^4)\iff xy(x^2+y^2)\iff xy(x^2+y^2)\le x^4+y^4$

${(x-y)}^2\left[{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge 0$, luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\right].\frac{a^2+b^2}{2}$

                                     $\le \frac{a^4+b^4}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le \frac{a^6+b^6}{2}$, đpcm.

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:

$a(1-b).b(1-c).c(1-a)>\frac{1}{64}\iff a(1-a).b(1-b).c(1-c)>\frac{1}{64}$        (*)

Ta có nhận xét:

$a(1-a)=a-a^2=\frac{1}{4}-{(a+\frac{1}{2})}^2\le \frac{1}{4}$

Chứng minh tương tự, ta có:

$b(1-b)\le \frac{1}{4},c(1-c)\le \frac{1}{4}$

Do đó:

$a(1-a).b(1-b).c(1-c)\le \frac{1}{64}$, tức là (*) sai.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^2=b^2+c^2$

Ta có nhận xét:

$a^3=a^2.a=(b^2+c^2).a=b^2.a+c^2.a\underset{a>c}{\overset{a>b}{>}}{b}^2.b+c^2.c=b^3+c^3$, đpcm.