Dạng 3: Bất đẳng thức cô-si có đáp án

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Cho cặp số a, b, ta được:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$                                                    (1)

- Cho cặp số $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$, ta được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$                                                    (2)

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

$\left(a+b\right)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}=4$, đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}\end{array}\right.\iff a=b$ 

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$$\begin{gathered} \frac{a+b-2c}{c}+\frac{b+c-2a}{a}+\frac{c+a-2b}{b}\ge 0 \\ \iff \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\ge 6 \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:

$\iff \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\ge 6.\sqrt[6]{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}=6$, đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}=\frac{b}{a}=\frac{c}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\iff a=b=c$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left(1+\frac{a}{b}\right)\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\iff {\left(1+\frac{a}{b}\right)}^m\ge 2^m\sqrt{{\left(\frac{a}{b}\right)}^m} \\ \left(1+\frac{b}{a}\right)\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}}\iff {\left(1+\frac{b}{a}\right)}^m\ge 2^m\sqrt{{\left(\frac{b}{a}\right)}^m} \end{gathered}$$

Suy ra: 

$$\begin{gathered} {\left(1+\frac{a}{b}\right)}^m+{\left(1+\frac{b}{a}\right)}^m\ge 2^m\sqrt{{\left(\frac{a}{b}\right)}^m}+2^m\sqrt{{\left(\frac{b}{a}\right)}^m} \\ \ge 2.\sqrt{2^m.\sqrt{{\left(\frac{a}{b}\right)}^m}{.2}^m\sqrt{{\left(\frac{b}{a}\right)}^m}}=2^{m+1} \end{gathered}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}1=\frac{a}{b}\\ 1=\frac{b}{a}\\ {\left(1+\frac{a}{b}\right)}^m={\left(1+\frac{b}{a}\right)}^m\end{array}\right.\iff a=b$

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\iff ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{k^2}{4}$

Từ đó suy ra ${\left(ab\right)}_{Max}=\frac{k^2}{4}$, đạt được khi $a=b=\frac{k}{2}$.