Dạng 3: Bất đẳng thức cô-si có đáp án

28 người thi tuần này 4.6 3.1 K lượt thi 11 câu hỏi 45 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

254 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 phòng GD&ĐT Thạch Thất (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

1 K lượt thi 15 câu hỏi

100 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Đa Tốn (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

888 lượt thi 32 câu hỏi

71 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Đống Đa (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề 2

859 lượt thi 13 câu hỏi

95 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Đống Đa (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề 1

883 lượt thi 12 câu hỏi

114 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 phòng GD&ĐT Thanh Trì (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

0.9 K lượt thi 12 câu hỏi

68 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Ngọc Lâm (Hà Nội) năm 2024-2025 có đáp án

502 lượt thi 13 câu hỏi

68 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Phúc Lợi (Hà Nội) năm 2024-2025 có đáp án

502 lượt thi 12 câu hỏi

98 người thi tuần này

Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 phòng GD&ĐT Hai Bà Trưng (Hà Nội) năm 2024-2025 có đáp án

532 lượt thi 12 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/11

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .

Xem đáp án

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Cho cặp số a, b, ta được:

$a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ (1)

- Cho cặp số $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , ta được:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}$ (2)

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 \sqrt{a b} . \frac{2}{\sqrt{a b}} = 4$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} a = b \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{b} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 2/11

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = (\frac{a}{b + c} + 1) + (\frac{b}{c + a} + 1) + (\frac{c}{a + b} + 1) - 3 = (a + b + c) (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) - 3 = \frac{1}{2} [(a + b) + (b + c) + (c + a)] [\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}] - 3 \geq \frac{1}{2} .3 \sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)} .3 \frac{1}{\sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)}} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} a + b = b + c = c + a \\ \frac{1}{a + b} = \frac{1}{b + c} = \frac{1}{c + a} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ .

Câu 3/11

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Xem đáp án

Lời giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\frac{a + b - 2 c}{c} + \frac{b + c - 2 a}{a} + \frac{c + a - 2 b}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6. \sqrt[6]{\frac{a}{c} . \frac{b}{c} . \frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b}} = 6$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Câu 4/11

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$(1 + \frac{a}{b}) \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{a}{b})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} (1 + \frac{b}{a}) \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}$

Suy ra:

${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} + 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}} \geq 2. \sqrt{2^{m} . \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} {.2}^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}} = 2^{m + 1}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} 1 = \frac{a}{b} \\ 1 = \frac{b}{a} \\ {(1 + \frac{a}{b})}^{m} = {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 5/11

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

Xem đáp án

Lời giải

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Leftrightarrow a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{k^{2}}{4}$

Từ đó suy ra ${(a b)}_{M a x} = \frac{k^{2}}{4}$ , đạt được khi $a = b = \frac{k}{2}$ .

Câu 6/11

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Xem đáp án

Lời giải

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b} = 2 \sqrt{k}$

Từ đó suy ra ${(a + b)}_{M i n} = 2 \sqrt{k}$ , đạt được khi $a = b = \frac{k}{2}$

Câu 7/11