+ Xét tứ giác AEDF có $\hat{A}= \hat{E}= \hat{F}$= 90⁰

⇒ AEDF là hình chữ nhật .       ( 1 )

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc $\hat{A}$

⇒ $\widehat{EAD}= \widehat{DAF}$= 45⁰.

+ Xét Δ AED có $\widehat{AED}$ = 90⁰; $\widehat{DAE}$ = 45⁰ ⇒ $\widehat{EDA}$ = 45⁰

⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED       ( 2 )

Từ ( 1 ),( 2 ) ⇒ AEDF là hình vuông (dấu hiệu 1 – mục 3)

Xét Δ BAI và Δ ADK có:

⇒ Δ BAI = Δ ADK ( c - g - c )

⇒ ABIˆ = DAKˆ (góc tương ứng bằng nhau)

Mà $\widehat{IAE}+ \widehat{EAB}$ = 90⁰ ⇒ $\widehat{ABI}+ \widehat{EAB}$ = 90⁰

+ Xét Δ ABE có $\widehat{EAB}+ \widehat{ABE}+ \widehat{AEB}$= 180⁰

⇒ $\widehat{AEB}$ = 180⁰ - ( $\widehat{ABE}+ \widehat{BAE}$ ) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ hay AK ⊥ BI (đpcm)

a) Áp dụng đĩnh nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD, ta được

⇒ Δ ABM = Δ ADK ( c - g - c )

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau và giả thiết, ta có:

 ⇒ $\widehat{KAN}= \widehat{A_3} + \widehat{A_4}= \widehat{A_1} + \widehat{A_3}$ = 90⁰ - 45⁰ = 45⁰

b) Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a - x, CN = a - DN

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a và giả thiết ta có:

⇒ Δ AMN = Δ AKN ( c - g - c )

⇒ MN = KN (cạnh tương ứng bằng nhau)

Khi đó, chu vi của tam giác MCN là

MC + CN + MN = a - x + a - DN + x + DN = 2a.