Dạng 1. Dùng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi có đáp án

Xét tứ giác ABDC  có:

AB // CD; AC // BD  (gt)

=> tứ giác ABDC là hình bình hành.

Lại có: AB = AC  (  cân tại A )

Nên tứ giác ABDC  là hình thoi. (đpcm)

Vì E, F  lần lượt là trung điểm của AB, BC  nên:

EFlà đường trung bình của $\Delta ABC$ . Do đó: $\left\{\begin{array}{l}EF\text{//}AC\\ EF=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.\left(1\right)$

Vì G, H  lần lượt là trung điểm của CD, DA  nên:

GH là đường trung bình của $\Delta ADC$ . Do đó: $\left\{\begin{array}{l}GH\text{//}AC\\ GH=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.\left(2\right)$

Từ (1)  và (2)  suy ra:  $\left\{\begin{array}{l}EF\text{//}GH\\ EF=GH\end{array}\right.$

Vậy tứ giác EFGH  là hình bình hành  

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta BFE$ có:

EA = EB (Giả thiết)

$\widehat{EAH}=\widehat{EBF}\left(={90}^{\circ }\right)$

AH = BF (Vì AD = BC)

Suy ra: $\Delta AHE=\Delta BFE\left(c.g.c\right)$

=> HE = FE (**)

Từ (*) và (**) ta được tứ giác là hình thoi (đpcm).

Hình bình hành ABCD  có M, N  lần lượt là trung điểm AB, CD nên: $\left\{\begin{array}{l}AN\text{//}DM\\ AN=DM\end{array}\right.$

Do đó tứ giác ANMD  là hình bình hành (*)

Ta có: AB = 2.AD  (giả thiết)

N là trung điểm AB  nên AB = 2.AN

Nên AD = AN 

Từ (*) và (**)  ta được tứ giác ANMD  là hình thoi. (đpcm).

Vì E, M  lần lượt là trung điểm của AB, BD  nên:

EM là đường trung bình của $\Delta ABD$ .

Do đó: $\left\{\begin{array}{l}EM\text{//}AD\\ EM=\frac{1}{2}AD\end{array}\right.\left(1\right)$

Vì N, F  lần lượt là trung điểm của AC, DC  nên:

NF là đường trung bình của $△$ACD . Do đó: $\left\{\begin{array}{l}NF\text{//}AD\\ NF=\frac{1}{2}AD\end{array}\right.\left(2\right)$

Từ (1), (2) suy ra EMFN là hình bình hành.  (*)

Vì E, N  lần lượt là trung điểm của AB, AC  nên:

EN là đường trung bình của $△$ABC . Do đó: $\left\{\begin{array}{l}EN\text{//BC}\\ EN=\frac{1}{2}BC\end{array}\right.\left(3\right)$

Mà AD = BC  (giả thiết) (4)

Từ (1), (3), (4)  ta được: EM = EN (**)

Từ (*)  và (**)  ta được tứ giác EMFNlà hình thoi. (đpcm).