Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh BC  và CD  lần lượt lấy hai điểm E  và F  sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH  là hình thoi.

Gọi O  là giao điểm của AC  và BD  khi đó $AC\perp BD$  (Vì O  là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADF$ có:

AB = AD (Vì ABCD là hình thoi)

$\widehat{B}=\widehat{D}$      (Vì ABCD là hình thoi)

BE = DF (giả thiết)

Suy ra $\Delta ABE=\Delta ADF(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_4}$  (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\widehat{A}\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{A_3}.$

Do đó AO là phân giác của $\widehat{HAG}.$    (*)

Xét $\Delta AGH$  có:

AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $\Delta AGH$  cân tại A.

Suy ra HO = OG   (1)

Lại có AO = OC  ( Vì ABCD  là hình thoi có trung điểm O )    (2)

Từ (1) và (2)  suy ra AGCH  là hình bình hành. (**)

Từ (*)  và (**)  ta được tứ giác AGCH  là hình thoi. (đpcm)