Bài tập theo tuần Toán 8 - Tuần 6

${\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2+4\mathrm{a}+4\mathrm{b}=\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+4\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+4\right)$

$\begin{array}{l}{\mathrm{a}}^3-{\mathrm{b}}^3-3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left({\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}-{\mathrm{b}}^2\right)-3\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\\ =\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left({\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}-{\mathrm{b}}^2-3\right)\end{array}$

${\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1={\left({\mathrm{x}}^2\right)}^2-{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^2=\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\right)={\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-1\right)$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^7+{\mathrm{x}}^6-\mathrm{x}-1={\mathrm{x}}^6\left(\mathrm{x}+1\right)-\left(\mathrm{x}+1\right)=\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^6-1\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^3-1\right)\left({\mathrm{x}}^3+1\right)=\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)\\ ={\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^3-{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^3={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^3-\left({\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3\right)\\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right){\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)\\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}-{\mathrm{y}}^2\right)=3\mathrm{xy}(\mathrm{x}+\mathrm{y})\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^3+9{\mathrm{x}}^2+26\mathrm{x}+24\\ ={\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+6{\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}+8\mathrm{x}+24\\ ={\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}+3\right)+6\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)+8\left(\mathrm{x}+3\right)\\ =\left(\mathrm{x}+3\right)\left({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8\right)\\ =\left(\mathrm{x}+3\right)\left({\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+2\mathrm{x}+8\right)\\ =\left(\mathrm{x}+3\right)\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+4\right)+2\left(\mathrm{x}+4\right)\right]=\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^8+\mathrm{x}+1={\mathrm{x}}^8-{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\\ ={\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{x}}^6-1\right)+\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)={\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{x}}^3-1\right)\left({\mathrm{x}}^3+1\right)+\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\\ ={\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)+\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\\ =\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\left[{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)+1\right]\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+4\right)-24\\ =\left[\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+3\right)\right]-24\\ =\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+4\right)\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+6\right)-24\left(*\right)\end{array} \\ \mathrm{Đặt} \mathrm{t}={\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+4\Rightarrow \left(*\right)=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)-24 \\ \begin{array}{l}={\mathrm{t}}^2+2\mathrm{t}-24={\mathrm{t}}^2+6\mathrm{t}-4\mathrm{t}-24=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+6\right)-4\left(\mathrm{t}+6\right)\\ =\left(\mathrm{t}+6\right)\left(\mathrm{t}-4\right)=\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+4+6\right)\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+4-4\right)\\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+10\right)\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+6\right)\left(\mathrm{x}+8\right)+16\\ =\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+8\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+6\right)+16\\ =\left({\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+16\right)\left({\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+24\right)+16\left(\mathrm{A}\right)\end{array} \\ \mathrm{Đặt} {\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+20=\mathrm{t} \\ \begin{array}{l}\left(\mathrm{A}\right)=\left(\mathrm{t}-4\right)\left(\mathrm{t}+4\right)+16={\mathrm{t}}^2-16+16\\ ={\mathrm{t}}^2={\left({\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+20\right)}^2\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}2\left(\mathrm{x}+5\right)-4\mathrm{x}=1\\ 2\mathrm{x}+10-4\mathrm{x}=1\\ -2\mathrm{x}=-9\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{9}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x-4\right)\left(5x-2\right)-3\left(4-x\right)=0\\ 5x^2-20x-2x+8-12+3x=0\\ 5x^2-19x-4=0\\ 5x^2-20x+x-4=0\\ 5x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)=0\\ \left(x-4\right)\left(5x+1\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-\frac{1}{5}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^4-8{\mathrm{x}}^2-9=0\iff {\mathrm{x}}^4-9{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2-9=0\\ \iff {\mathrm{x}}^2.\left({\mathrm{x}}^2-9\right)+\left({\mathrm{x}}^2-9\right)\\ \iff \left({\mathrm{x}}^2+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-9\right)=0\\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-9=0\left(\mathrm{do}{\mathrm{x}}^2+1>0\right)\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-3=0\\ \mathrm{x}+3=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}=-3\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^3\left(3\mathrm{x}-2\right)-8+12\mathrm{x}=0\\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^3\left(3\mathrm{x}-2\right)+4\left(3\mathrm{x}-2\right)=0\\ \iff \left(3\mathrm{x}-2\right)\left({\mathrm{x}}^3+4\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{x}=\sqrt[3]{-4}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-{\mathrm{x}}^2+9=0\\ 5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)=0\\ \Rightarrow \left(\mathrm{x}-3\right)\left(5\mathrm{x}-\mathrm{x}-3\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-3\right)\left(4\mathrm{x}-3\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-24=0\\ {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+4\mathrm{x}-24=0\\ \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-6\right)+4\left(\mathrm{x}-6\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}-6\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4\\ \mathrm{x}=6\end{array}\right.\end{array}$

Cho x + y = 1

$\begin{array}{l}\mathrm{A}={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3+3\mathrm{xy}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)+3\mathrm{xy}\\ =1.\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)+3\mathrm{xy}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}-27={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+9\mathrm{x}-27\\ ={\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-3\right)-\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+9\left(\mathrm{x}-3\right)=\left(\mathrm{x}-3\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+9\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-4{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}=\left({\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{y}}^2\right)-\left(2\mathrm{x}+4\mathrm{y}\right)\\ =\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)-2\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}-4={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}+2{\mathrm{x}}^2-4\\ ={\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{x}}^2-2\right)+2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-2\right)+2\left({\mathrm{x}}^2-2\right)=\left({\mathrm{x}}^2-2\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+2\right)\end{array}$

a) Ta có $OD=OB$ mà E, F là trung điểm $OD,OB\Rightarrow OE=OF$

Tứ giác AFCE có $OE=OF,OA=OC\Rightarrow AECF$ là hình bình hành nên $AE//CF$

b) Gọi M là trung điểm KC (1)

Xét $\Delta AKC$ có O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành), M là trung điểm KC (vẽ thêm) => OM là đường trung bình $\Delta AKC$ => OM//AK mà $E\in KA\Rightarrow KE//OM$

Xét $\Delta DMO$ có E là trung điểm của OD, $KE//OM\left(cmt\right)\Rightarrow K$ là trung điểm DM $\Rightarrow DK=KM\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $DK=KM=MC$ hay $DK=\frac{1}{2}KC$

a) $\Delta BMD$ cân do $BM=BD\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{D_2}$ mà $\widehat{M}=\widehat{D_1}$ (so le trong) nên $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\Rightarrow ID$ là tia phân giác $\widehat{BDC}$

Chứng minh tương tự BI là phân giác $\widehat{CBD}\Rightarrow I$ là giao điểm 3 đường phân giác

$\Rightarrow CI$ là phân giác $\widehat{BCD}.$Vẽ phân giác Ax của $\widehat{A}$

$\Rightarrow \widehat{xAD}=\widehat{BCK}$ (do $ADCB$ là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{C})\Rightarrow AK=CO\Rightarrow AKCO$ là hình bình hành $\Rightarrow CI//AO$

b) $\Delta DKC$ cân do $\widehat{KCD}=\widehat{CKD}\Rightarrow CD=CK$ mà $CD=AB\Rightarrow AB=CK$

$\begin{array}{l}\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)-\mathrm{bc}\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)+\mathrm{ac}\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\\ ={\mathrm{a}}^2\mathrm{b}+{\mathrm{ab}}^2-{\mathrm{b}}^2\mathrm{c}-{\mathrm{bc}}^2+{\mathrm{a}}^2\mathrm{c}-{\mathrm{ac}}^2\\ =\left({\mathrm{ab}}^2-{\mathrm{b}}^2\mathrm{c}\right)+\left({\mathrm{a}}^2\mathrm{b}-{\mathrm{bc}}^2\right)+\mathrm{ac}\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\\ ={\mathrm{b}}^2\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)+\mathrm{b}\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)+\mathrm{ac}\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\\ =\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\left({\mathrm{b}}^2+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ac}\right)\\ =\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\left[\mathrm{b}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{c}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\right]=\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\end{array}$