Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Ta biến đổi đẳng thức như sau

a² + b² + c² – (ab + bc + ca) ≥ 0

\(\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - ab + \frac{{{b^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{2} - bc + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{2} - ca + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)\)≥ 0

\({\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }} - \frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }} - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\) ≥ 0 luôn đúng

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x+y}{2}.\frac{x^3+y^3}{2}\le \frac{x^4+y^4}{2}$                                         (*)

Thật vậy:

$(*)\iff (x+y)(x^3+y^3)\le 2(x^4+y^4)\iff xy(x^2+y^2)\iff xy(x^2+y^2)\le x^4+y^4$

${(x-y)}^2\left[{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge 0$, luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\right].\frac{a^2+b^2}{2}$

                                     $\le \frac{a^4+b^4}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le \frac{a^6+b^6}{2}$, đpcm.

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:

$a(1-b).b(1-c).c(1-a)>\frac{1}{64}\iff a(1-a).b(1-b).c(1-c)>\frac{1}{64}$        (*)

Ta có nhận xét:

$a(1-a)=a-a^2=\frac{1}{4}-{(a+\frac{1}{2})}^2\le \frac{1}{4}$

Chứng minh tương tự, ta có:

$b(1-b)\le \frac{1}{4},c(1-c)\le \frac{1}{4}$

Do đó:

$a(1-a).b(1-b).c(1-c)\le \frac{1}{64}$, tức là (*) sai.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^2=b^2+c^2$

Ta có nhận xét:

$a^3=a^2.a=(b^2+c^2).a=b^2.a+c^2.a\underset{a>c}{\overset{a>b}{>}}{b}^2.b+c^2.c=b^3+c^3$, đpcm.