Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2+b2+c2−(ab+bc+ca)≥0⇔a22−ab+b22+b22−bc+c22+c22−ca+a22≥0 ⇔a2−b22+b2−c22+c2−a22≥0, luôn đúng. Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇔(a2+b2−2ab)+(b2+c2−2bc)+(c2+a2−2ca)≥0 ⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0, luôn đúng. Cách 3: Ta luôn có: (a-b)2≥0(b-c)2≥0(c-a)2≥0⇔a2+b2−2ab≥0b2+c2−2bc≥0c2+a2−2ca≥0 (I) Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2a2+b2+c2−2(ab+bc+ca)≥0⇔a2+b2+c2≥ab+bc+ca, đpcm.

Câu hỏi:

12/07/2024 707

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{2} - a b + \frac{b^{2}}{2}) + (\frac{b^{2}}{2} - b c + \frac{c^{2}}{2}) + (\frac{c^{2}}{2} - c a + \frac{a^{2}}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{c}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - 2 a b) + (b^{2} + c^{2} - 2 b c) + (c^{2} + a^{2} - 2 c a) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ {(b - c)}^{2} \geq 0 \\ {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \\ b^{2} + c^{2} - 2 b c \geq 0 \\ c^{2} + a^{2} - 2 c a \geq 0 \end{cases}$ (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,152

Câu 2:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án » 12/07/2024 594

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 345

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 307

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Nhà sách VIETJACK:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Cho a,b,c∈(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1−b)>14, b(1−c)>14, c(1−a)>14

Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$