Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2+b2+c2−(ab+bc+ca)≥0⇔a22−ab+b22+b22−bc+c22+c22−ca+a22≥0 ⇔a2−b22+b2−c22+c2−a22≥0, luôn đúng. Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇔(a2+b2−2ab)+(b2+c2−2bc)+(c2+a2−2ca)≥0 ⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0, luôn đúng. Cách 3: Ta luôn có: (a-b)2≥0(b-c)2≥0(c-a)2≥0⇔a2+b2−2ab≥0b2+c2−2bc≥0c2+a2−2ca≥0 (I) Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2a2+b2+c2−2(ab+bc+ca)≥0⇔a2+b2+c2≥ab+bc+ca, đpcm.

Câu hỏi:

12/07/2024 851

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{2} - a b + \frac{b^{2}}{2}) + (\frac{b^{2}}{2} - b c + \frac{c^{2}}{2}) + (\frac{c^{2}}{2} - c a + \frac{a^{2}}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{c}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - 2 a b) + (b^{2} + c^{2} - 2 b c) + (c^{2} + a^{2} - 2 c a) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ {(b - c)}^{2} \geq 0 \\ {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \\ b^{2} + c^{2} - 2 b c \geq 0 \\ c^{2} + a^{2} - 2 c a \geq 0 \end{cases}$ (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,365

Câu 2:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án » 12/07/2024 720

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 378

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 354

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Cho a,b,c∈(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1−b)>14, b(1−c)>14, c(1−a)>14

Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$