Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2+b2+c2−(ab+bc+ca)≥0⇔a22−ab+b22+b22−bc+c22+c22−ca+a22≥0 ⇔a2−b22+b2−c22+c2−a22≥0, luôn đúng. Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇔(a2+b2−2ab)+(b2+c2−2bc)+(c2+a2−2ca)≥0 ⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0, luôn đúng. Cách 3: Ta luôn có: (a-b)2≥0(b-c)2≥0(c-a)2≥0⇔a2+b2−2ab≥0b2+c2−2bc≥0c2+a2−2ca≥0 (I) Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2a2+b2+c2−2(ab+bc+ca)≥0⇔a2+b2+c2≥ab+bc+ca, đpcm.

Câu hỏi:

12/07/2024 903

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{2} - a b + \frac{b^{2}}{2}) + (\frac{b^{2}}{2} - b c + \frac{c^{2}}{2}) + (\frac{c^{2}}{2} - c a + \frac{a^{2}}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{c}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - 2 a b) + (b^{2} + c^{2} - 2 b c) + (c^{2} + a^{2} - 2 c a) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ {(b - c)}^{2} \geq 0 \\ {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \\ b^{2} + c^{2} - 2 b c \geq 0 \\ c^{2} + a^{2} - 2 c a \geq 0 \end{cases}$ (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,391

Câu 2:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án » 12/07/2024 744

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 408

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 361

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Cho a,b,c∈(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1−b)>14, b(1−c)>14, c(1−a)>14

Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$