Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2+b2+c2−(ab+bc+ca)≥0⇔a22−ab+b22+b22−bc+c22+c22−ca+a22≥0 ⇔a2−b22+b2−c22+c2−a22≥0, luôn đúng. Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇔(a2+b2−2ab)+(b2+c2−2bc)+(c2+a2−2ca)≥0 ⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0, luôn đúng. Cách 3: Ta luôn có: (a-b)2≥0(b-c)2≥0(c-a)2≥0⇔a2+b2−2ab≥0b2+c2−2bc≥0c2+a2−2ca≥0 (I) Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2a2+b2+c2−2(ab+bc+ca)≥0⇔a2+b2+c2≥ab+bc+ca, đpcm.

Câu hỏi:

05/10/2022 289

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{2} - a b + \frac{b^{2}}{2}) + (\frac{b^{2}}{2} - b c + \frac{c^{2}}{2}) + (\frac{c^{2}}{2} - c a + \frac{a^{2}}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{c}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - 2 a b) + (b^{2} + c^{2} - 2 b c) + (c^{2} + a^{2} - 2 c a) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ {(b - c)}^{2} \geq 0 \\ {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \\ b^{2} + c^{2} - 2 b c \geq 0 \\ c^{2} + a^{2} - 2 c a \geq 0 \end{cases}$ (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Quảng cáo

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án » 05/10/2022 670

Câu 2:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án » 05/10/2022 221

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án » 05/10/2022 207

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án » 05/10/2022 190

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nâng cấp VIP

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Bài tập Nhân đơn thức với đa thức (có lời giải chi tiết)

2 đề 24538 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức có lời giải chi tiết

2 đề 11570 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 8 Giữa học kì 2 năm 2020 - 2021 có đáp án

10 đề 10193 lượt thi Thi thử
Top 12 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 3 Đại Số có đáp án, cực hay

16 đề 9969 lượt thi Thi thử
Tổng hợp bài tập Toán 8 Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

13 đề 9443 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

26 đề 8865 lượt thi Thi thử
Top 10 Đề thi Toán 8 Giữa học kì 2 có đáp án, cực sát đề chính thức

11 đề 8191 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa học kì 2 Toán 8 chọn lọc, có đáp án

11 đề 7726 lượt thi Thi thử
Top 11 Đề kiểm tra Đại số Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 có đáp án, cực hay

6 đề 7661 lượt thi Thi thử
Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

2 đề 7611 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Cho a,b,c∈(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1−b)>14, b(1−c)>14, c(1−a)>14

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$