Cho $a,b,c\in (0;1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^2=b^2+c^2$

Ta có nhận xét:

$a^3=a^2.a=(b^2+c^2).a=b^2.a+c^2.a\underset{a>c}{\overset{a>b}{>}}{b}^2.b+c^2.c=b^3+c^3$, đpcm.

Lời giải:

Ta biến đổi đẳng thức như sau

a² + b² + c² – (ab + bc + ca) ≥ 0

\(\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - ab + \frac{{{b^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{2} - bc + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{2} - ca + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)\)≥ 0

\({\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }} - \frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }} - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\) ≥ 0 luôn đúng