Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có: x+y2.x3+y32≤x4+y42 (*) Thật vậy: (*)⇔(x+y)(x3+y3)≤2(x4+y4)⇔xy(x2+y2)⇔xy(x2+y2)≤x4+y4 (x−y)2x+y22+3y24≥0, luôn đúng. Khi đó áp dụng (*), ta được: a+b2.a2+b22.a3+b32=a+b2.a3+b32.a2+b22 ≤a4+b42.a2+b22≤a6+b62, đpcm.

Câu hỏi:

19/08/2025 705

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x + y}{2} . \frac{x^{3} + y^{3}}{2} \leq \frac{x^{4} + y^{4}}{2}$ (*)

Thật vậy:

$(*) \Leftrightarrow (x + y) (x^{3} + y^{3}) \leq 2 (x^{4} + y^{4}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \leq x^{4} + y^{4}$

${(x - y)}^{2} [{(\frac{x + y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}] \geq 0$ , luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} = [\frac{a + b}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2}] . \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$\leq \frac{a^{4} + b^{4}}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$ , đpcm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Ta có nhận xét:

$a^{3} = a^{2} . a = (b^{2} + c^{2}) . a = b^{2} . a + c^{2} . a >_{a > c}^{a > b} b^{2} . b + c^{2} . c = b^{3} + c^{3}$ , đpcm.

Câu 2

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Ta biến đổi đẳng thức như sau

a² + b²+ c² – (ab + bc + ca) ≥ 0

$\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - ab + \frac{{{b^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{2} - bc + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{2} - ca + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)$≥ 0

${\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }} - \frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }} - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$ ≥ 0 luôn đúng

Câu 3

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$