Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có: x+y2.x3+y32≤x4+y42 (*) Thật vậy: (*)⇔(x+y)(x3+y3)≤2(x4+y4)⇔xy(x2+y2)⇔xy(x2+y2)≤x4+y4 (x−y)2x+y22+3y24≥0, luôn đúng. Khi đó áp dụng (*), ta được: a+b2.a2+b22.a3+b32=a+b2.a3+b32.a2+b22 ≤a4+b42.a2+b22≤a6+b62, đpcm.

Câu hỏi:

12/07/2024 378

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x + y}{2} . \frac{x^{3} + y^{3}}{2} \leq \frac{x^{4} + y^{4}}{2}$ (*)

Thật vậy:

$(*) \Leftrightarrow (x + y) (x^{3} + y^{3}) \leq 2 (x^{4} + y^{4}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \leq x^{4} + y^{4}$

${(x - y)}^{2} [{(\frac{x + y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}] \geq 0$ , luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} = [\frac{a + b}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2}] . \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$\leq \frac{a^{4} + b^{4}}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$ , đpcm.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,365

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem đáp án » 12/07/2024 852

Câu 3:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án » 12/07/2024 720

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 354

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Chứng minh rằng với mọi a,b∈ℝ luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32≤a6+b62

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Cho a,b,c∈(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1−b)>14, b(1−c)>14, c(1−a)>14

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$