${(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} = {(1. \sqrt{p - a} + 1. \sqrt{p - b} + 1. \sqrt{p - c})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (p - a + p - b + p - c) = 3 p \Leftrightarrow \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p} (1)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{\sqrt{p - a}}{1} = \frac{\sqrt{p - b}}{1} = \frac{\sqrt{p - c}}{1} \Leftrightarrow a = b = c$

- Ta đi chứng minh:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c}$

Bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \Leftrightarrow p < p - a + p - b + p - c + 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} \Leftrightarrow 0 < 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)}$

Câu 4/8

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu 5/8

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: ${(3 x + 4 y)}^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 25$

Lấy căn hai vế, ta được:

$|3 x + 4 y| \leq 5 \Leftrightarrow - \leq 3 x + 4 y \leq 5$ , đpcm.

Câu 6/8

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(\sqrt{x} . \sqrt{x^{3}} + \sqrt{y} . \sqrt{y^{3}})}^{2} \leq (x + y) (x^{3} + y^{3}) = 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + y^{2})}^{4} \leq 4 {(x + y)}^{2} = 4 {(1. x + 1. y)}^{2} \leq 4 (1 + 1) (x^{2} + y^{2}) = 8 (x^{2} + y^{2})$

${(x^{2} + y^{2})}^{3} \leq 8 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2$ , đpcm.

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Câu 7/8

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/8

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 2/8 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.