Dạng 4: Bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki có đáp án

25 người thi tuần này 4.6 3.5 K lượt thi 8 câu hỏi 45 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

524 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 10 (có đáp án) - Đề 2

1.5 K lượt thi 11 câu hỏi

422 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 10 (có đáp án) - Đề 1

1.4 K lượt thi 11 câu hỏi

247 người thi tuần này

Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 10 (có đáp án)

494 lượt thi 50 câu hỏi

106 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 8 (có đáp án) - Đề 2

596 lượt thi 11 câu hỏi

156 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 8 (có đáp án) - Đề 1

646 lượt thi 11 câu hỏi

136 người thi tuần này

Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 8 (có đáp án)

394 lượt thi 50 câu hỏi

87 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 9 (có đáp án) - Đề 2

548 lượt thi 11 câu hỏi

149 người thi tuần này

Đề kiểm tra Toán 8 Chương 9 (có đáp án) - Đề 1

610 lượt thi 11 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/8

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $V T = {(x^{3} + y^{3})}^{2} = {(x . x^{2} + y . y^{2})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$ , đpcm.

Câu 2/8

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$V T^{2} = {(a b + b c + c a)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + a^{2}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}$

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq |a b + b c + c a| \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Câu 3/8

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án

Lời giải

- Ta có:

${(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} = {(1. \sqrt{p - a} + 1. \sqrt{p - b} + 1. \sqrt{p - c})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (p - a + p - b + p - c) = 3 p \Leftrightarrow \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p} (1)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{\sqrt{p - a}}{1} = \frac{\sqrt{p - b}}{1} = \frac{\sqrt{p - c}}{1} \Leftrightarrow a = b = c$

- Ta đi chứng minh:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c}$

Bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \Leftrightarrow p < p - a + p - b + p - c + 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} \Leftrightarrow 0 < 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)}$

Câu 4/8

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu 5/8

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: ${(3 x + 4 y)}^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 25$

Lấy căn hai vế, ta được:

$|3 x + 4 y| \leq 5 \Leftrightarrow - \leq 3 x + 4 y \leq 5$ , đpcm.

Câu 6/8

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(\sqrt{x} . \sqrt{x^{3}} + \sqrt{y} . \sqrt{y^{3}})}^{2} \leq (x + y) (x^{3} + y^{3}) = 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + y^{2})}^{4} \leq 4 {(x + y)}^{2} = 4 {(1. x + 1. y)}^{2} \leq 4 (1 + 1) (x^{2} + y^{2}) = 8 (x^{2} + y^{2})$

${(x^{2} + y^{2})}^{3} \leq 8 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2$ , đpcm.

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Câu 7/8

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/8

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 2/8 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$