Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$

- Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2 \\ ={\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)}^2 \\ \le \left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)=3p \\ \iff \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p} \left(1\right) \end{gathered}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{\sqrt{p-a}}{1}=\frac{\sqrt{p-b}}{1}=\frac{\sqrt{p-c}}{1}\iff a=b=c$

- Ta đi chứng minh:

$\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}$

Bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:

$$\begin{gathered} \sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} \\ \iff p<p-a+p-b+p-c \\ +2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-c)(p-a)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)} \\ \iff 0<2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-c)(p-a)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

${\left(x^2+y^2\right)}^2={\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)}^2\le \left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=2\left(x+y\right)$

$\iff {\left(x^2+y^2\right)}^4\le 4{\left(x+y\right)}^2=4{\left(1.x+1.y\right)}^2\le 4(1+1)\left(x^2+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)$

${\left(x^2+y^2\right)}^3\le 8\iff x^2+y^2\le 2$, đpcm.

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.