Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Đặt: A=a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3B=a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)C=a12(a2+a3+a4)2+a22(a3+a4+a5)2+a32(a4+a5+a1)2+a42(a5+a1+a2)2+a52(a1+a2+a3)2D=3a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)E=a12+a22+a32+a42+a52 Do: 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2 đúng với ∀x,y,z∈ℝ Nên D≥C (1) Bằng biến đổi đơn giản, ta có: 59E2−D=310[(a12+a22−a32−a42)2+(a22+a32−a42−a52)2+(a32+a42−a52−a12)2 +(a42+a52−a12−a22)2+(a52+a12−a22−a32)2+(a12−a42)2 +(a12−a32)2+(a22−a42)2+(a22−a52)2+(a32−a42)2]≥0 Nên 59E2≥0 (2) Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: A.B≥E2 (3) Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: B2≤EC Từ (1) và (2), ta có: B2≤EC≤ED≤E.59E2=59E3 (4) Từ (3) và (4), ta thu được: A≥53E≥53, do E≥1. Đẳng thức chỉ xảy ra khi: a1=a2=a3=a4=a5=15

Câu hỏi:

13/07/2024 515

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt:

$A = \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} B = a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3}) C = a_{1}^{2} {(a_{2} + a_{3} + a_{4})}^{2} + a_{2}^{2} {(a_{3} + a_{4} + a_{5})}^{2} + a_{3}^{2} {(a_{4} + a_{5} + a_{1})}^{2} + a_{4}^{2} {(a_{5} + a_{1} + a_{2})}^{2} + a_{5}^{2} {(a_{1} + a_{2} + a_{3})}^{2} D = 3 [a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})] E = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$

Do:

$3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ đúng với $\forall x, y, z \in ℝ$

Nên

$D \geq C$ (1)

Bằng biến đổi đơn giản, ta có:

$\frac{5}{9} E^{2} - D = \frac{3}{10} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - a_{3}^{2} - a_{4}^{2})^{2} + {(a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} + a_{4}^{2} - a_{5}^{2} - a_{1}^{2})}^{2} + {(a_{4}^{2} + a_{5}^{2} - a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2} + {(a_{5}^{2} + a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} - a_{4}^{2})}^{2}] \geq 0$

Nên $\frac{5}{9} E^{2} \geq 0$ (2)

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$A . B \geq E^{2}$ (3)

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$B^{2} \leq E C$

Từ (1) và (2), ta có:

$B^{2} \leq E C \leq E D \leq E . \frac{5}{9} E^{2} = \frac{5}{9} E^{3}$ (4)

Từ (3) và (4), ta thu được: $A \geq \frac{\sqrt{5}}{3} \sqrt{E} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ , do $E \geq 1$ .

Đẳng thức chỉ xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,060

Câu 2:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 961

Câu 3:

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án » 13/07/2024 800

Câu 4:

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 669

Câu 5:

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án » 13/07/2024 521

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Xem đáp án » 06/10/2022 307

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: p<p−a+p−b+p−c≤3p

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có: ab+bc+ca≤a2+b2+c2

Cho các số không âm a, y thỏa mãn x3+y3=2. Chứng minh rằng: x2+y2≤2

Hai số x, y thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh rằng −5≤3x+4y≤5.

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có: (x3+y3)2≤(x2+y2)(x4+y4)

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$