Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Đặt: A=a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3B=a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)C=a12(a2+a3+a4)2+a22(a3+a4+a5)2+a32(a4+a5+a1)2+a42(a5+a1+a2)2+a52(a1+a2+a3)2D=3a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)E=a12+a22+a32+a42+a52 Do: 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2 đúng với ∀x,y,z∈ℝ Nên D≥C (1) Bằng biến đổi đơn giản, ta có: 59E2−D=310[(a12+a22−a32−a42)2+(a22+a32−a42−a52)2+(a32+a42−a52−a12)2 +(a42+a52−a12−a22)2+(a52+a12−a22−a32)2+(a12−a42)2 +(a12−a32)2+(a22−a42)2+(a22−a52)2+(a32−a42)2]≥0 Nên 59E2≥0 (2) Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: A.B≥E2 (3) Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: B2≤EC Từ (1) và (2), ta có: B2≤EC≤ED≤E.59E2=59E3 (4) Từ (3) và (4), ta thu được: A≥53E≥53, do E≥1. Đẳng thức chỉ xảy ra khi: a1=a2=a3=a4=a5=15

Câu hỏi:

13/07/2024 242

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt:

$A = \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} B = a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3}) C = a_{1}^{2} {(a_{2} + a_{3} + a_{4})}^{2} + a_{2}^{2} {(a_{3} + a_{4} + a_{5})}^{2} + a_{3}^{2} {(a_{4} + a_{5} + a_{1})}^{2} + a_{4}^{2} {(a_{5} + a_{1} + a_{2})}^{2} + a_{5}^{2} {(a_{1} + a_{2} + a_{3})}^{2} D = 3 [a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})] E = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$

Do:

$3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ đúng với $\forall x, y, z \in ℝ$

Nên

$D \geq C$ (1)

Bằng biến đổi đơn giản, ta có:

$\frac{5}{9} E^{2} - D = \frac{3}{10} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - a_{3}^{2} - a_{4}^{2})^{2} + {(a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} + a_{4}^{2} - a_{5}^{2} - a_{1}^{2})}^{2} + {(a_{4}^{2} + a_{5}^{2} - a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2} + {(a_{5}^{2} + a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} - a_{4}^{2})}^{2}] \geq 0$

Nên $\frac{5}{9} E^{2} \geq 0$ (2)

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$A . B \geq E^{2}$ (3)

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$B^{2} \leq E C$

Từ (1) và (2), ta có:

$B^{2} \leq E C \leq E D \leq E . \frac{5}{9} E^{2} = \frac{5}{9} E^{3}$ (4)

Từ (3) và (4), ta thu được: $A \geq \frac{\sqrt{5}}{3} \sqrt{E} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ , do $E \geq 1$ .

Đẳng thức chỉ xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 735

Câu 2:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án » 13/07/2024 693

Câu 3:

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 541

Câu 4:

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án » 13/07/2024 436

Câu 5:

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án » 13/07/2024 414

Câu 6:

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án » 13/07/2024 242

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Bài tập Nhân đơn thức với đa thức (có lời giải chi tiết)

2 đề 26,375 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức có lời giải chi tiết

2 đề 12,074 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

26 đề 11,224 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 8 Giữa học kì 2 năm 2020 - 2021 có đáp án

10 đề 10,946 lượt thi Thi thử
Top 12 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 3 Đại Số có đáp án, cực hay

16 đề 10,847 lượt thi Thi thử
Tổng hợp bài tập Toán 8 Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

13 đề 10,693 lượt thi Thi thử
Top 10 Đề thi Toán 8 Giữa học kì 2 có đáp án, cực sát đề chính thức

11 đề 8,980 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa học kì 2 Toán 8 chọn lọc, có đáp án

11 đề 8,442 lượt thi Thi thử
Top 11 Đề kiểm tra Đại số Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 có đáp án, cực hay

6 đề 8,264 lượt thi Thi thử
Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

2 đề 8,200 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Nhà sách VIETJACK:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có: ab+bc+ca≤a2+b2+c2

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: p<p−a+p−b+p−c≤3p

Hai số x, y thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh rằng −5≤3x+4y≤5.

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Cho các số không âm a, y thỏa mãn x3+y3=2. Chứng minh rằng: x2+y2≤2

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1 Hãy chỉ ra nghiệm có tổng 3x2+2y2 nhỏ nhất.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.