Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: a2b2+b2c2+c2a212+12+12≥ab+bc+ca2 Suy ra: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca.13.ab+bc+ca (*) Nhận xét rằng: 13.ab+bc+ca≥abcabc3=1ab+bc+ca≥ab+bc+ca Suy ra ab+bc+ca.13.ab+bc+ca≥ab+bc+ca Từ đó (*) được biến đổi: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi:

13/07/2024 512

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k).

Tải ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - Sổ tay Toán 8 (Takenote) cho cả 3 bộ Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều VietJack

Đã bán 212

₫ 60.000 ₫ 30.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025

Đã bán 374

₫ 130.000 ₫ 60.000

Hà Nội

Combo 2 sách Trọng tâm Văn - Sử - Địa - GDCD và Toán - Anh - KHTN lớp 8 cho cả 3 bộ KNTT; CTST; CD VietJack

Đã bán 287

₫ 230.000 ₫ 120.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,037

Câu 2:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 934

Câu 3:

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án » 13/07/2024 728

Câu 4:

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 659

Câu 5:

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem đáp án » 13/07/2024 488

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Xem đáp án » 06/10/2022 298

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: p<p−a+p−b+p−c≤3p

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có: ab+bc+ca≤a2+b2+c2

Cho các số không âm a, y thỏa mãn x3+y3=2. Chứng minh rằng: x2+y2≤2

Hai số x, y thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh rằng −5≤3x+4y≤5.

Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có: (x3+y3)2≤(x2+y2)(x4+y4)

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$