Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: a2b2+b2c2+c2a212+12+12≥ab+bc+ca2 Suy ra: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca.13.ab+bc+ca (*) Nhận xét rằng: 13.ab+bc+ca≥abcabc3=1ab+bc+ca≥ab+bc+ca Suy ra ab+bc+ca.13.ab+bc+ca≥ab+bc+ca Từ đó (*) được biến đổi: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi:

19/08/2025 931

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án

Lời giải

- Ta có:

${(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} = {(1. \sqrt{p - a} + 1. \sqrt{p - b} + 1. \sqrt{p - c})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (p - a + p - b + p - c) = 3 p \Leftrightarrow \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p} (1)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{\sqrt{p - a}}{1} = \frac{\sqrt{p - b}}{1} = \frac{\sqrt{p - c}}{1} \Leftrightarrow a = b = c$

- Ta đi chứng minh:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c}$

Bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \Leftrightarrow p < p - a + p - b + p - c + 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} \Leftrightarrow 0 < 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)}$

Câu 2

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$V T^{2} = {(a b + b c + c a)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + a^{2}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}$

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq |a b + b c + c a| \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Câu 3

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.