Cho a,b>0. Chứng minh rằng: (a+b)(1a+1b)≥4.

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: - Cho cặp số a, b, ta được: a+b≥2ab (1) - Cho cặp số 1a+1b, ta được: 1a+1b≥2ab (2) Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được: a+b(1a+1b)≥2ab.2ab=4, đpcm. Dấu bằng xảy ra khi: a=b1a=1b⇔a=b

Cho a, b >0 . Chứng minh rằng: (a+b)(1/a + 1/b) lớn hơn bằng 4

Câu 1

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Xem đáp án

Lời giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\frac{a + b - 2 c}{c} + \frac{b + c - 2 a}{a} + \frac{c + a - 2 b}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6. \sqrt[6]{\frac{a}{c} . \frac{b}{c} . \frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b}} = 6$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Câu 2

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$(1 + \frac{a}{b}) \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{a}{b})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} (1 + \frac{b}{a}) \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}$

Suy ra:

${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} + 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}} \geq 2. \sqrt{2^{m} . \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} {.2}^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}} = 2^{m + 1}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} 1 = \frac{a}{b} \\ 1 = \frac{b}{a} \\ {(1 + \frac{a}{b})}^{m} = {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}$ , với x > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Cho a,b>0. Chứng minh rằng: (a+b)(1a+1b)≥4.

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab(a+b−2c)+bc(b+c−2a)+ca(c+a−2b)≥0

Cho a,b>0,m∈ℕ*. Chứng minh rằng: 1+abm+1+bam≥2m+1

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+15x, với x > 0.

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32

Cho hai số a,b≥0. a. Nếu a+b=k−const, tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu ab=k−const, tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}$ , với x > 0.

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.