Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32

Ta có: ab+c+bc+a+ca+b=ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1−3=(a+b+c)ab+c+bc+a+ca+b−3=12(a+b)+(b+c)+(c+a)1b+c+1c+a+1a+b−3≥12.3(a+b)(b+c)(c+a)3.31(a+b)(b+c)(c+a)3−3=92−3=32 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a+b=b+c=c+a1a+b=1b+c=1c+a⇔a=b=c.

Câu hỏi:

12/07/2024 331

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = (\frac{a}{b + c} + 1) + (\frac{b}{c + a} + 1) + (\frac{c}{a + b} + 1) - 3 = (a + b + c) (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) - 3 = \frac{1}{2} [(a + b) + (b + c) + (c + a)] [\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}] - 3 \geq \frac{1}{2} .3 \sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)} .3 \frac{1}{\sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)}} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} a + b = b + c = c + a \\ \frac{1}{a + b} = \frac{1}{b + c} = \frac{1}{c + a} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 785

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}$ , với x > 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 459

Câu 3:

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Xem đáp án » 12/07/2024 420

Câu 4:

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

Xem đáp án » 12/07/2024 311

Câu 5:

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Xem đáp án » 12/07/2024 309

Câu 6:

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 281

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}$ , với x > 0.

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32

Nhà sách VIETJACK:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab(a+b−2c)+bc(b+c−2a)+ca(c+a−2b)≥0

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+15x, với x > 0.

Cho a,b>0,m∈ℕ*. Chứng minh rằng: 1+abm+1+bam≥2m+1

Cho hai số a,b≥0. a. Nếu a+b=k−const, tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu ab=k−const, tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Cho a,b>0. Chứng minh rằng: (a+b)(1a+1b)≥4.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}$ , với x > 0.

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .