Dạng 2. Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.

Vì $E\text{D}//BC$  nên $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$  (hệ quả định lý Ta-lét)

 $\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{c-x}{c}\iff cx=a\left(c-x\right)\iff cx=ac-ax$

 $\iff \left(a+c\right)x=ac\iff x=\frac{ac}{a+c}$

Vậy $x=\frac{ac}{a+c}$ .

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho $BK=BA$ .

Ta có tam giác ABK cân tại B nên $\widehat{BKA}=\widehat{BAK}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$  (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà $\widehat{EBD}=\widehat{DBF}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{DBF}\Rightarrow BD//AK\Rightarrow \frac{BD}{AK}=\frac{CB}{CK}$  (hệ quả định lý Ta-lét)

 $\Rightarrow \frac{BD}{AK}=\frac{CB}{BC+BK}=\frac{a}{a+c}$(1)

Trong tam giác ABK có: 

$AK<AB+BK=c+c=2c$ (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).

Từ (1) và (2) có:  $BD<\frac{a}{a+c}.2c=\frac{2ac}{a+c}$

Vậy $BD<\frac{2ac}{a+c}$ .

Vì $ED//BC$  nên $\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}$  (hệ quả định lý Ta-lét)  

Tương tự có  $AB=\frac{d\left(m+n\right)}{n}$

Vậy $BC=\frac{d\left(m+n\right)}{m}$  và $AB=\frac{d\left(m+n\right)}{n}$ .

Định hướng

Sau khi vẽ hình ta thấy hình thang PQCB có đủ các điều kiện của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1. Do đó ta có thể sử dụng kết quả của Ví dụ 2 để giải quyết bài toán.

Lời giải

Đặt $BC=x$ .

Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:

 $\frac{1}{GE}=\frac{1}{GF}=\frac{1}{a}+\frac{1}{x}\Rightarrow GE=GF=\frac{ax}{a+x}$

 $\Rightarrow GE+GF=2\frac{ax}{a+x}\iff EF=\frac{2ax}{a+x}\iff b=\frac{2ax}{a+x}$

$\iff ab+bx-2ax=0\iff x=\frac{ab}{2a-b}$ 

Vậy $BC=\frac{ab}{2a-b}$ .