Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=11\\ x+xy+y=3+4\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2xy+x-2y+3=0\text{ (1)}\\ y^2-x^2+2xy+2x-2=0\text{ (2)}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2-4xy+2x-4y+6=0\\ y^2-x^2+2xy+2x-2=0\end{array}\right.$

Cộng 2 vế của hệ phương trình ta được $x^2+y^2-2xy+4x-4y+4=0$

$\iff {\left(x-y+2\right)}^2=0$

$\iff y=x+2$.Thay vào pt (1) ta được $x^2+5x+1=0\iff x=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$

Dễ thấy y=0   không là nghiệm của mỗi phương trình.

Chia cả 2 vế phương trình (1)+ 27 = 18 y63  cho $y^3$  , phương trình (2) cho y²  ta được $\left\{\begin{array}{l}8x^3+\frac{27}{y^3}=18\\ 4.\frac{x^2}{y^{}}+6.\frac{x}{y^2}=1\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}2x=a\\ \frac{3}{y}=b\end{array}\right.$  ta có hệ    $\left\{\begin{array}{l}{a}^3+b^3=18\\ a^{2}b+a{b}^2=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ ab=1\end{array}\right.$

a; b là nghiệm của phương trình  $X^2-3X+1=0$

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm: $(x_1,y_1)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{4};\frac{3+\sqrt{5}}{6}\right);(x_2,y_2)=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{4};\frac{3-\sqrt{5}}{6}\right)$