Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc cao

Dễ thấy y=0   không là nghiệm của mỗi phương trình.

Chia cả 2 vế phương trình (1)+ 27 = 18 y63  cho $y^3$  , phương trình (2) cho y²  ta được $\left\{\begin{array}{l}8x^3+\frac{27}{y^3}=18\\ 4.\frac{x^2}{y^{}}+6.\frac{x}{y^2}=1\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}2x=a\\ \frac{3}{y}=b\end{array}\right.$  ta có hệ    $\left\{\begin{array}{l}{a}^3+b^3=18\\ a^{2}b+a{b}^2=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ ab=1\end{array}\right.$

a; b là nghiệm của phương trình  $X^2-3X+1=0$

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm: $(x_1,y_1)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{4};\frac{3+\sqrt{5}}{6}\right);(x_2,y_2)=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{4};\frac{3-\sqrt{5}}{6}\right)$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2xy+x-2y+3=0\text{ (1)}\\ y^2-x^2+2xy+2x-2=0\text{ (2)}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2-4xy+2x-4y+6=0\\ y^2-x^2+2xy+2x-2=0\end{array}\right.$

Cộng 2 vế của hệ phương trình ta được $x^2+y^2-2xy+4x-4y+4=0$

$\iff {\left(x-y+2\right)}^2=0$

$\iff y=x+2$.Thay vào pt (1) ta được $x^2+5x+1=0\iff x=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\text{x}}\text{+}\sqrt{\text{y}}\text{+4}\sqrt{\text{xy}}\text{=16}\\ \text{x+y=10}\end{array}\right.$(I)( Điều kiện:$x;y\ge 0$)

Đặt S= $\sqrt{x}+\sqrt{y}$  ; P = $\sqrt{xy}$   ( $S\ge 0;P\ge 0$ ) hệ (I) có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}\text{S+4P=16 }\\ {\text{S}}^{\text{2}}\text{-2P=10 }\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{S+4P=16 }\\ {\text{2S}}^{\text{2}}\text{-4P=20 }\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{S+4P=16 }\\ {\text{2S}}^{\text{2}}\text{ +S-36=0 }\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\text{S=4(tm);S=}\frac{\text{-9}}{\text{2}}\text{( loai) }\\ \text{P=3 }\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{S=4 }\\ \text{P=3 }\end{array}\right.$

Khi đó $\sqrt{x};\sqrt{y}$ là 2 nghiệm của phương trình:  $t^2–4t+3=0$

Giải phương trình ta được  $t_1=3;t_2=1$( thỏa mãn )

   $TH1:\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\text{x}}\text{=3}\\ \sqrt{\text{y}}\text{=1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{x=9}\\ \text{y=1}\end{array}\right.$             $TH2:\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\text{x}}\text{=1}\\ \sqrt{\text{y}}\text{=3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{x=1}\\ \text{y=9}\end{array}\right.$

( thỏa mãn)                                          (thỏa mãn)

- Đặt  $S=x+y;P=xy$  được: $\left\{\begin{array}{c}{S}^2-2P=11\\ S+P=3+4\sqrt{2}\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{c}{S}^2-2P=11\\ 2S+2P=6+8\sqrt{2}\end{array}\right.$

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được phương trình:

$S^2+2S-(17+8\sqrt{2})=0$

- Giải phương trình được $S_1=3+\sqrt{2}$  ; $S_2=-5-\sqrt{2}$

$S_1=3+\sqrt{2}$ được $P_1=3\sqrt{2}$  ;$S_2=-5-\sqrt{2}$ được $P_2=8+5\sqrt{2}$

Với $S_1=3+\sqrt{2}$; $P_1=3\sqrt{2}$ có x, y là hai nghiệm của phương trình:           

$X^2-(3+\sqrt{2})X+3\sqrt{2}=0$       

Giải phương trình được $X_1=3;X_2=\sqrt{2}$  .

Với   $S_2=-5-\sqrt{2}$ ,  được $P_2=8+5\sqrt{2}$  có x, y là hai nghiệm của phương trình:$X^2+(5+\sqrt{2})X+8+5\sqrt{2}=0$.

 Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{c}x=3\\ y=\sqrt{2}\end{array}\right.$ ; $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ y=3\end{array}\right.$ .

Điều kiện: $x\ge \frac{-3}{2}$  ;   $y\le \frac{3}{2}$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được phương trình:

   $\sqrt{3-2y}=2$$\iff 3–2y=4$$\iff y=\frac{-1}{2}$  (t/mãn đk)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:

${\left(x+1\right)}^2=0\iff x=-1\sqrt{3+2x}=x+2\iff$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $\left(x;y\right)=(-1;-\frac{1}{2})$