Dạng 2: Giải hệ phương trình và một số ý phụ

35 người thi tuần này 4.6 3 K lượt thi 18 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} (a + 1) x - y = a + 1 \begin{matrix} (1) \end{matrix} \\ x + (a - 1) y = 2 \begin{matrix} \begin{matrix} (2) \end{matrix} \end{matrix} \end{cases}$ ( a là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi a=2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Khi a=2 hệ phương trình có dạng: $\{\begin{cases} 3 x - y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 5 \\ y = 2 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = \frac{3}{4} \end{cases}$

Vậy với a=2 hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (\frac{5}{4}; \frac{3}{4})$

Câu 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình

Xem đáp án

Lời giải

b) Giải và biện luận:

Từ PT ta có: $y = (a + 1) x - (a - 1) (3)$ thế vào PT (2) ta được:

$x + (a + 1) [(a + 1) x - (a - 1)] = 2 \Leftrightarrow x + (a^{2} - 1) x - (a^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow a^{2} x = a^{2} + 1$ ( 4)

TH1: $a \neq 0$ , phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}$ . Thay vào ta có:

$y = (a + 1) \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} - (a + 1) = \frac{(a + 1) (a^{2} + 1) - a^{2} (a + 1)}{a^{2}} = \frac{a^{3} + a + a^{2} + 1 - a^{3} - a^{2}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

TH2: Nếu a=0 , phương trình (4) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL: $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

a= 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với thì $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Câu 3

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Xem đáp án

Lời giải

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\{\begin{matrix} x \in ℤ \\ y \in ℤ \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} \in ℤ \\ \frac{a + 1}{a^{2}} \in ℤ \end{matrix} \begin{matrix} (a \in ℤ) \end{matrix}$

Điều kiện cần: $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0 \in ℤ$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in ℤ$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Câu 4

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x+y đạt GTNN.

Xem đáp án

Lời giải

d) Ta có $x + y = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} + \frac{a + 1}{a^{2}} = \frac{a^{2} + a + 2}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a} + \frac{2}{a^{2}}$ .

Đặt $t = \frac{1}{a}$ ta được:

$x + y = 2 t^{2} + t + 1 = 2 (t^{2} + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2}) = 2 [{(t + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{16}] = 2 {(t + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8} \geq \frac{7}{8}$

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi $t = - \frac{1}{4}$ , khi đó $a = - 4$

Vậy a=-4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y đạt GTNN bằng $\frac{7}{8}$

Câu 5

Tìm a, b biết hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + b y = a \\ b x + a y = 5 \end{cases}$ có nghiệm x=1 ; y=3

Xem đáp án

Lời giải

Thay x=1 ; y=3 vào hệ ta có:

$\{\begin{cases} 2.1 + b .3 = a \\ b .1 + a .3 = 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 3 b = 2 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 9 b = 6 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 10 b = - 1 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{- 1}{10} \\ a = \frac{17}{10} \end{cases}$