Dạng 2: Giải hệ phương trình và một số ý phụ

a)       Khi a=2    hệ phương trình có dạng:$\left\{\begin{array}{l}3x-y=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x=5\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}\\ y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Vậy với  a=2 hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

b)       Giải và biện luận:

Từ PT  ta có:  $y=\left(a+1\right)x-\left(a-1\right) \left(3\right)$    thế vào PT (2)    ta được:       

$x+\left(a+1\right)\left[\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)\right]=2\iff x+\left(a^2-1\right)x-\left(a^2-1\right)=2\iff a^{2}x=a^2+1$   ( 4)    

TH1:$a\ne 0$ , phương trình  (4) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$ . Thay vào ta có:

$y=\left(a+1\right)\frac{a^2+1}{a^2}-\left(a+1\right)=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2}=\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

TH2: Nếu a=0   , phương trình  (4) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL:   $a\ne 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

           a= 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với thì $a\ne 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

c)       Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{\begin{array}{c}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\begin{array}{cc}& \left(a\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Điều kiện cần:  $x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}\iff a^2=1\iff a=\pm 1$

Điều kiện đủ:

$a=-1\Rightarrow y=0\in \mathbb{Z}$ (nhận)

$a=1\Rightarrow y=2\in \mathbb{Z}$ (nhận)

Vậy$a=\pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a\ne 0$  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

d)       Ta có $x+y=\frac{a^2+1}{a^2}+\frac{a+1}{a^2}=\frac{a^2+a+2}{a^2}=1+\frac{1}{a}+\frac{2}{a^2}$ .

Đặt $t=\frac{1}{a}$  ta được: 

$x+y=2t^2+t+1=2\left(t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\right)=2\left[{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{16}\right]=2{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}\ge \frac{7}{8}$

Dấu " ="  xảy ra khi và chỉ khi $t=-\frac{1}{4}$, khi đó  $a=-4$

Vậy a=-4  thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y  đạt GTNN bằng $\frac{7}{8}$

Vậy $a=\frac{-1}{10}$  ; $y=\frac{17}{10}$thì hệ phương trình có nghiệm  x=1 ; y=3

a)       Với m=1, hệ phương trình (I)  có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 2x-3y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=8\\ 2x-3y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x,y\right)=\left(2;1\right)$ .